Частные случаи метода взвешенных невязок

Многие хорошо известные численные методы, используемые при решении задач математической физики, могут интерпретироваться как частные случаи метода взвешенных невязок.

Рис. 1.2. Точное решение задачи ( 1 .11) с граничным условием ( 1 .12)

Рассматривается дифференциальное уравнение

(1.11)

с граничными условиями

, (1.12)

имеющее точное решение (рис. 1 .2):

. (1.13)

С помощью различных численных методов построим приближенные решения этого уравнения в виде

,

удовлетворяющем граничным условиям ( 1 .12). Для упрощения будем удерживать только два слагаемых в разложении решения по степеням аргумента x:

. (1.14)

Погрешность получаемого приближенного решения будем оценивать с помощью точного решения ( 1 .13).

Невязка уравнения ( 1 .11) на приближенном решении:

. (1.15)

В соответствии с идеей метода потребуем равенства нулю от взвешенной по всей области интегрирования невязки ₁:

, (1.16)

где _k, k = 0, 1, 2, … – полная система взвешивающих функций.