chm_3

2 Элемент

1 узел 1 узел Г₅2 узел

Рис. 4.3. Треугольные конечные элементы, аппроксимирующие поперечное сечение полосы (плоско-деформированное состояние)

С помощью этих функций формируется матрица жесткости первого конечного элемента,

Поскольку модуль упругости стали равен E = 210¹¹Мпа, коэффициент Пуассона  = 0,3, площадь конечного элемента S₁ = ½, коэффициенты матрицы жесткости принимают следующие числовые значения:

Для упрощения принято, что массовые силы и температурные нагрузки отсутствуют, то есть для обоих элементов {F₁} и {F₂} равны нулю.

Для подсчета значений {F₁} вся граница первого конечного элемента представляется в виде суммы Г = Г₁ + Г₂ + Г₃, при этом считается, что вдоль каждой границы конечного элемента поверхностные нагрузки постоянны. На границе Г₁ касательная нагрузка в силу симметрии расчетной схемы; на границе Г₂ усилие вследствие отсутствуя трение между плитой и полосой.

Подсчитываются интегралы, содержащие функцию ,

Вычисляются значения каждого из интегралов в этом выражении,

, .

На наклонной границе удобнее перейти к локальным координатам и вычислить интеграл

Суммированием полученных значений определяется значений всего интеграла на всей границе Г,

Для вертикальной составляющей поверхностных сил интеграл вычисляется аналогично,

, ,

Для всего интеграла получается значение

Вычисляются интегралы, содержащие функцию ,

и функцию ,

Для первого конечного элемента построен вектор поверхностных нагрузок

и сформирована система алгебраических уравнений для первого конечного элемента

Для второго треугольного элемента (рис. 4 .3), пробные функции имеют вид

Матрица жесткости для второго конечного элемента

Подстановка значений модуля упругости E = 210¹¹МПа, коэффициента Пуассона  = 0,3 и площади конечного элемента S₂ = ½ дает

Для подсчета значений {F₂}, как и в предыдущем случае, вся граница второго конечного элемента представляется в виде суммы Г = Г₃ + Г₄ + Г₅. Предполагается, что вдоль соответствующих границ поверхностные нагрузки постоянны, при этом на свободной поверхности Г₄ нагрузки , на границе Г₅ усилие вследствие симметрии расчетной схемы.

Вычисляются интегралы, содержащие функцию ,

функцию ,

;

функцию ,

Вектор граничных нагрузок для второго конечного элемента (рис. 4 .3) имеет вид

Система алгебраических уравнений для второго конечного элемента

Для выполнения ансамблирования системы алгебраических уравнений для каждого из элементов расширяются за счет добавления неизвестных величин узловых перемещений. В первую систему уравнений добавляются , во вторую – неизвестные . Теперь системы уравнений принимают вид

Почленное сложение левых и правых частей обеих расширенных систем уравнений позволяет избавиться от внутренних усилий , действующих на внутренней границе Г₃,

Полученная система, содержащая восемь уравнений, имеет определитель, равный нулю. В этом легко убедиться, поскольку сумма элементов в каждой строке и каждом столбце матрицы коэффициентов равна нулю, что свидетельствует о линейной зависимости полученных уравнений.

Для получения корректного решения следует изменить граничные условия рассматриваемой задачи: необходимо поставить условия закрепления выделенного фрагмента рассматриваемой области. Из условия симметрии следует (рис. 4 .2, б), что

При заданных перемещениях плит

где  – величины заданного перемещения. В результате оказываются неизвестными и подлежат определению лишь узловые перемещения . Из полученной системы восьми уравнений выбираются уравнения, не содержащие неизвестные усилия на границе,

Подстановка указанных кинематических граничных условий приводит к системе двух уравнений относительно двух неизвестных,

Отсюда следует

Теперь, используя заданные и найденные перемещения, из оставшихся уравнений системы определяются усилия, действующие на границе области. Из первого уравнения следует

Второе уравнение дает

(МПа).

Из шестого уравнения системы получается

(МПа).

Знак минус в последнем результате показывает, что усилие действует в направлении, противоположном указанному на рис. 4 .3.

Для оценки точности полученные значения сравниваются с аналитическим решением той же задачи, приведенным в [13]. Перемещение плиты  связано с величиной развиваемого плитами давления P соотношением

Перемещение U боковой стенки полосы определяется давлением P,

Исключение давления P из этих выражений дает

, .

Для взятых значений E и  получается

Это означает, что численное решение рассмотренной задачи, полученное с помощью метода взвешенных невязок, оказалось точным.

Содержание