Введение

В последнее время широкое распространение получил метод взвешенных невязок, частными случаями которого оказываются многие известные методы решения задач математической физики, например, методы Галеркина, моментов, потоков, наименьших квадратов, подобластей и целый ряд других.

Метод конечных элементов является, по-видимому, одним из наиболее распространенных способов решения прикладных задач в горной и строительной механике, при выполнении прочностных расчетов, изучении тепловых и газодинамических процессов, исследовании упругого, вязкого и пластического состояния твердых деформируемых тел и во многих других случаях. Наглядность метода, простота геометрического описания конструкций, элементов деталей машин и механизмов, имеющих сложные формы, универсальность учета граничных условий сделали его весьма популярным среди широкого круга специалистов, занятых решением инженерных задач. На основе метода конечных элементов созданы многие прикладные программные комплексы для решения конструкторских задач, возникающих в авиационной, судостроительной, автомобильной, машиностроительной промышленности.

Метод граничных элементов появился как результат развития идей, лежащих в основе метода конечных элементов. Он базируется на понятии фундаментального решения краевой задачи, в которой точечный источник задается с помощью -функции Дирака. В этом случае конечные элементы используются для аппроксимации границы области, а аппарат классических интегральных уравнений применяется для отыскания решения внутри рассматриваемой области. В настоящее время аппарат метода граничных элементов широко применяется для решения задач механики жидкостей и газа, грунтов, упругости и пластичности деформируемых тел, вязкоупругости и в целом ряде других инженерных и научных проблем. Применение указанных методов в механике деформируемого твердого тела (О. Зенкевич¹, Р. Галлагер, Д. Норри, Ж. Де Фриз, С. Крауч, А. Г. Угодчиков, Н. М. Хуторянский и другие) позволило найти решения сложнейших инженерных задач.

Много внимания уделяется численным методам решения прикладных задач механики жидкостей и газа на основе методов конечных и граничных элементов с различными видами аппроксимации полей скорости, давления и температуры (К. Бреббиа², Дж. Коннор, П. Роуч, К. Флетчер и другие), поскольку построение точных решений для систем нелинейных дифференциальных уравнений движения, энергии, диффузии целого ряда других не представляется возможным.

Первая глава пособия посвящена классификации методов взвешенных невязок, введению основных понятий и определений, вопросу сходимости галеркинского приближения обобщенного решения.

Во второй главе рассматриваются аппроксимация функций с помощью кусочно-непрерывных пробных функций, системы иерархических многочленов, способы построения пробных функций, применяемых при решении одно-, двух- и трехмерных задач.

Построение разрешающих соотношений для одномерных стационарных и нестационарных задач на основе метода Галеркина с использованием конечно-элементной аппроксимации подробно рассмотрено в третьей глава на примере задачи теплопроводности.

Походы к решению задач теории упругости (плоскодеформированное, плосконапряженное и осесимметричное напряженные состояния), а также способы решения упругопластических задач (методы переменных параметров упругости и дополнительных нагрузок) изучаются в четвертой главе. Подробно рассмотрены процедура ансамблирования конечных элементов и учет кинематических граничных условий. Получено решение об осадке длинной полосы между гладкими горизонтальными плитами.

В пятой главе ставится задача о движении жидкости с использованием функций тока и завихренности. С использованием метода Галеркина получена система алгебраических уравнений, рассмотрена процедура ее решения, алгоритм реализован на примере решения задачи о течении жидкости в замкнутой полости с подвижной крышкой.

В последней, шестой главе, приведены основные соотношения метода граничных элементов, описан алгоритм построения фундаментального решения для линейной краевой задачи.

Во время подготовки рукописи активное участие в разработке алгоритмов и программ для персональных компьютеров, в проведении вычислительных экспериментов приняли студенты специальности «Математическое моделирование» Наталья Шабрыкина, Владимир Кочуров (ММ-94), Ирина Унчанская, Михаил Додкин (ММ-95), Инна Гитман (ММ-96), Евгений Баженов, Андрей Петров (ММ-97) и многие другие.