chm_3

Разрешающие соотношения метода взвешенных невязок Уравнение равновесия

Поскольку уравнение ( 4 .0) векторное, решением его является векторная функция, а значит, для разложения его в ряд необходимо построить систему векторных пробных функций. Предположим, что – полная и замкнутая система скалярных функций. Используя эту систему, построим набор векторных пробных функций

(4.5)

Пусть – приближенное решение уравнения ( 4 .0). Взвесим невязки, получаемые при подстановке этого решения в уравнение ( 4 .0) и граничное условие ( 4 .3), в соответствии с идеей метода Галеркина, используя систему векторных функций ( 4 .5),

, (4.6)

. (4.7)

С помощью соотношений тензорного анализа [9]

и соотношения ( 4 .7) первое слагаемое выражения ( 4 .6) преобразуется к виду

В результате выполненных преобразований получена ослабленная форма уравнения ( 4 .0)

, (4.8)

поскольку искомая функция теперь вынесена из-под знака производной. Кроме этого, в выражение ( 4 .8) включены силовые граничные условия ( 4 .3). Перейдем от векторной формы записи к компонентной:

, (4.9)

где компоненты метрического тензора [11]

В физических компонентах (обозначены чертой сверху) соотношение ( 4 .9) принимает вид

. (4.10)

В последнем выражении H_j, j = 1, 2, 3 – коэффициенты Ляме. В декартовой ортогональной системе координат H₁= H₂= H₃= 1. В этом случае выражение ( 4 .10) преобразуется к виду (далее знак черты над символами опущен)

Для вектора это соотношение записывается в форме

Учитывая, что согласно ( 4 .5) , предыдущее выражение приводится к виду

Аналогичные преобразования с использованием приводят к соотношениям

Для всей системы функций ( 4 .5) полученные выражения можно записать в виде

(4.11)

где . Вводятся матричные обозначения

, (4.12)

с помощью которых систему уравнений ( 4 .11) можно записать в матричной форме

. (4.13)

Содержание