logo search
Конспект ТАУ

19.4. Стійкість замкненої системи з запізненням

З передатної функції системи з запізненням

                                    (1)

одержуємо характеристичне рівняння системи у вигляді:

.                                             (2)

Як бачимо, характеристичне рівняння трансцендентне, а не алгебраїчне. Тому алгебраїчні критерії Гурвіца і Рауса тут не придатні, але критерії Михайлова і Найквіста можна застосувати і для системи з запізненням. Оскільки відомо, що збільшення запізнення τ зменшує запас стійкості, визначимо критичне запізнення τк, скориставшись критерієм Найквіста. Критичним вважатимемо таке запізнення τк, яке виводить систему на границю стійкості. При  τ = τк частотна ПФ W(jω) у відповідності з критерієм Найквіста буде проходити при певній частоті ωk через точку (-1,0) комплексної площини (U,jV). Така ситуація зображена на рис. 19.6.

 



Рис. 19.6. До визначення критичного запізнення з критерію Найквиста

 

Для визначення величин τк і ωk складемо систему рівнянь

,                                          (3)

з якої одержуємо

.                                                        (4)

З першого рівняння системи (4) визначимо ωk, а з другого визначимо tk. Застосування формул (4) покажемо на конкретному прикладі. Візьмемо структурно стійку систему регулювання з ПФ

,                                                  (5)

частотні характеристики якої 

.                                    (6)

З першого рівняння в (6) знаходимо

.                                                              (7)

Підставивши ωk з (7) і φ0(ω) з (6) у вираз для τк в (4), одержимо

.                                                (8)

Характер залежності  від k як границі стійкості даної системи, розрахованої за формулою (8), показаний на рис.19.7.

 

 

Рис.19.7. Границя стійкості на площині параметрів 

 

Приведений приклад показує, що запізнення при τ>τk робить нестійкою навіть систему, яка при відсутності запізнення стійка при будь-яких параметрах Т і k.

Слід зазначити, що елемент запізнення в деяких випадках, наприклад, при застосуванні його в місцевому зворотному зв’язку, може поліпшувати якість перехідного процесу системи подібно до того, як це робить інерційний елемент.

Задачі

1.          Побудуйте АЧХ, ФЧХ і частотний годограф інерційної ланки з запізненням при k1=10, Т1=0,1.

2.          Побудуйте частотні характеристики і порівняйте запаси стійкості з амплітуди і з фази для системи з запізненням і без запізнення, якщо передатна функція її розімкненої частини

W(S) = k1 е-t s / [s×(T1s+1)],  де k1=10, T1=0,1.

3.          Знайдіть критичне запізнення і критичну частоту для системи з передатною функцією розімкненої частини

W(S) = k1 е-t s / [s×(T1s+1)], де k1=10, T1=0,1.