6.3. Інтегрувально-інерційна ланка

Ланка з рівнянням

,                                                      (1)

передатна функція якої

,                                                     (2)

не є елементарною, оскільки її можна розглядати як послідовне з’єднання ідеальної інтегрувальної ланки з інерційною. Така ланка є моделлю ряду важливих елементів автоматики, зокрема, при певних умовах вона моделює електродвигун. Передатною функцією (2) описується також фазовий детектор, якщо вхідною величиною вважати різницю частот двох сигналів.

Імпульсна характеристика ланки, знайдена зворотним перетворенням Лапласа від її зображення P(s)=W(s) має вид

.                                                  (3)

Перехідну характеристика знаходимо інтегрування імпульсної характеристики:

.                                      (4)

Графіки часових характеристик p(t) і h(t) приведені на рис.6.10.

Рис.6.10. Часові характеристики інерційно-інтегрувальної ланки

З виразу (4) і графіка h(t) видно, що інтегрувально-диференціальна ланка виконує інтегрування із запізненням T.

Частотна передатна функція ланки описується виразом

,                                               (5)

з якого знаходимо АЧХ у вигляді

,                                                 (6)

 і ФЧХ у вигляді

.                                              (7)

Графіки частотних характеристик разом з годографом частотної передатної функції показані на рис. 6. 11.

Рис. 6.11. АЧХ, ФЧХ і годограф ЧПФ інтегрувально-інерційної ланки

Особливістю ФЧХ є те, що початковий фазовий здвиг дорівнює – 90⁰, як і в ідеальній інтегрувальній ланці, але з ростом частоти він збільшується, наближаючись до – 180⁰ на високих частотах. Годограф ЧПФ розміщений в третьому квадранті, його асимптота (пунктир) – вертикальна лінія з координатою U = -kT.

На рис. 6.12 побудована асимптотична логарифмічна АЧХ ланки.

Рис.6.12. ЛАЧХ інерційно-інтегрувальної ланки

Логарифмічна АЧХ визначається формулою

.                    (8)

В діапазоні частот від 0 до  асимптотична ЛАЧХ є сумою асимптот ,  і , а в діапазоні частот від ω₁ до ¥ до цієї суми додається ще асимптота . Графіки асимптот показані на рисунку пунктиром. Асимптотична ЛАЧХ показана суцільною лінією. На частоті спряження  від’ємний нахил ЛАЧХ збільшується на – 20 дБ і стає рівним – 40 дБ на декаду.

Задачі

1. Для схеми інтегратора (рис.6.4) з параметрами R i C заданими в табл.6.1 знайдіть вирази для часових характеристик, розрахуйте таблиці і побудуйте графіки часових характеристик p(t) i h(t).

Таблиця 6.1. Параметри R i C схеми інтегратора

2. Для схеми інтегратора (рис.6.4) з параметрами R i C, заданими в табл.6.1, знайдіть вирази для ЧПФ і частотних характеристик, розрахуйте таблиці і побудуйте графіки АЧХ, ФЧХ і АФЧХ.

3. Для схеми інтегратора (рис.6.4) з параметрами R i C, заданими в табл.6.1 знайдіть вираз для ЛАЧХ, розрахуйте таблицю і побудуйте графік ЛАЧХ. Визначте з графіку частоту зрізу ω_z.

4. Знайдіть передатну функцію ланки, яка задана електричною схемою на рис. 6.9 і параметри R і C якої задані в таблиці 6.2.

Таблиця 6.2. Параметри R і C схеми до задачі 4

5. Знайдіть формули, розрахуйте таблиці і побудуйте графіки часових і частотних характеристик ланки, заданої в задачі 4.

6. Знайдіть формули, розрахуйте таблиці і побудуйте графіки логарифмічних частотних характеристик ланки з передатною функцією W(s)=k/(Ts+1), значення параметрів k і T якої задані в табл. 6.3.

7. Для інтегрувально-інерційної ланки з параметрами k і Т, заданими в таблиці 6.3 знайдіть вирази для часових характеристик, розрахуйте таблиці і побудуйте графіки часових характеристик p(t) i h(t).

8. Для інтегрувально-інерційної ланки з параметрами k і Т, заданими в табл. 6.3, знайдіть вирази для ЧПФ і частотних характеристик, розрахуйте таблиці і побудуйте графіки АЧХ і ФЧХ.

9. Визначте вирази для асимптот ЛАЧХ інтегрувально-інерційної ланки з параметрами, заданими в табл. 6.3, побудуйте асимптоти і асимптотичну логарифмічну АЧХ ланки.

Таблиця 6.3. Параметри k і T передатної функції до задачі 6