12.4. Критерій стійкості Гурвиця

Розглянемо алгебраїчний критерій німецького математика Гурвиця (1895 рік). Нехай характеристичне рівняння системи n–го порядку з додатнимикоефіцієнтами має такий вид:

,                            (1)

Критерій стійкості Гурвиця можна сформулювати так: для стійкості лінійної системи n-го порядку з додатними коефіцієнтами характеристичного рівняння необхідно і достатньо, щоб додатними були усі n головні визначники квадратної n´n матриці Гурвиця, складеної з коефіцієнтів характеристичного рівняння.  Матриця Гурвиця має такий вид:

                                    (2)

Головні визначники матриці Гурвиця мають вид:

(3)

Визначник Гурвиця D_n, як видно із структури матриці  (2) дорівнює

,                                                (4)

тобто, додатність визначника D _n зводиться до додатності вільного члена (коефіцієнта a_n) при умові, що D _n-1>0.

Для систем першого і другого порядків критерій Гурвиця вимагає додатності коефіцієнтів відповідно a₀, a₁ і a₀, a₁, a₂.

Для систем третього порядку з характеристичним рівнянням

                                       (4)

умова стійкості за Гурвицем буде такою

  або                                (6)

Умову (6) формулюють так: добуток середніх коефіцієнтів характеристичного рівняння повинен бути більше добутку крайніх.

Для систем четвертого порядку з характеристичним рівнянням

                                  (7)

критерій Гурвиця вимагає щоб

.                           (8)

Для систем більш високого порядку розрахунки визначників більш складні і для їх застосування бажано використовувати ЕОМ.

Слід зазначити, що в 1914 році критерій Гурвиця був уточнений дослідниками Льєнаром і Шипаром, які виявили, що для стійкості системи достатньо, щоб додатними були усі парні або непарні визначники матриці Гурвиця [2]. Крім того, виявилось, що критерій Гурвиця може бути одержаний з критерія Рауса. Тому іноді критерій Гурвиця називають критерієм Рауса-Гурвиця.

За допомогою критерію Гурвіца можна дослідити границі стійкості системи і побудувати область стійкості на площині параметрів системи.