5.3. Коливальна ланка

Диференціальне рівняння коливальної ланки має вид

   ,                            (1)

тому передатна функція, знайдена прямим перетворенням Лапласа, має вид

.                                        (2)

Тут k – коефіцієнт підсилення ланки, T – постійна часу, x – коефіцієнт демпфірування.

Корені характеристичного рівняння коливальної ланки

,                                   (3)

комплексно-спряжені:

.                        (4)

Комплексні корені обумовлюють експоненціально-коливальний характер часових характеристик ланки. Розглянемо ці характеристики, скориставшись теоремою розкладання.

Зображення імпульсної характеристики має вид

.                                    (5)

Згідно з формулою теореми розкладання

.                           (6)

Підставивши в (6) значення коренів характеристичного рівняння з (4), після певних перетворень одержимо імпульсну характеристику

                                  (7)

у вигляді погасаючої синусоїди з нульовою початковою фазою. Величину , яка визначає швидкість погасання імпульсної характеристики називають коефіцієнтом погасання [1].

Перехідну характеристику h(t) можна знайти інтегруванням імпульсної характеристики

                                                (8)

або зворотним перетворенням Лапласа її зображення

                                               (9)

у вигляді

,                        (8)

де .                                    (9)

Перехідна характеристика є сумою константи k і експоненціально-погасаючоїсинусоїди, початкова початкова фаза якої не дорівнює нулю. З терем про початкове і кінцеве значення оригіналу неважко визначити, що значення імпульсної характеристика коливальної ланки починається з нуля і закінчується нулем, а значення перехідної характеристика починається з нуля, але закінчується значенням величини k. Графіки часових характеристик коливальної ланки показані на рис.5.1.

З рисунку видно, що імпульсна характеристика являє собою синусоїду, яка з часом погасає до нуля. Перехідна характеристик складається з двох компонент: постійної складової величиною k і погасаючої синусоїдної складової. Амплітуда синусоїдної складової перехідної характеристики погасає до нуля, в результаті чого усталене значення перехідного процесу стає рівним значенню k.

Рис.5.1.Часові характеристики  коливальної ланки

Розглянемо частотні характеристики ланки. Частотну передатна функцію коливальної ланки знаходимо як звичайно заміною s на jω у виразі для звичайної ПФ ланки, в результаті чого одержуємо

,                               (10)

звідки

,                             (11)

.                                   (12)

Характер АЧХ і ФЧХ при різних значеннях демпферного коефіцієнта  приведені на рис.5.2.

Рис.5.2. АЧХ і ФЧХ коливальної ланки

Видно, що при  на характеристиках АЧХ появляється горб, висота якого при  наближається до нескінченності. Максимум горба знаходиться на частоті , яка наближається до частоти ω=1/T при . На частоті ω=1/T значення АЧХ A(w)=k/(2x), тому при x=0,5 A(w)=k.

Амплітудно-фазово-частотна характеристика (АФЧХ) коливальної ланки показана на рис.5.3. Годограф починається з точки (k,0), а закінчується в точці (0,0). В початковій точці кут вектора годографу дорівнює нулю, а до конечної точки він підходить під кутом –π. На частоті ω=1/T годограф перетинає вертикальну вісь, оскільки на цій частоті φ(ω)=π/2.

Рис. 5.3. АФЧХ коливальної ланки

Логарифмічна АЧХ визначається з (11) таким виразом

.                        (13)

Графік функції A_L(ω) приведений на рис. 5.4 плавною лінією. Асимптотична ЛАЧХ показана на рис.5.4 лінійно-ломаною лінією.

Асимптотична ЛАЧХ при ξ≥0,7 наближена до точної ЛАЧХ. Максимум ЛАЧХ має місце на частоті ω_m, яка наближається до спрягаючої частоти ω =1/T при наближенні ξ до нуля. При  перевищення H реальної характеристики над асимптотичною на частоті ω =1/T дорівнює 20lg[1/(2 ξ)], дБ, а при  перевищення асимптотичної характеристики над реальною на частоті ω =1/T дорівнює 20lg(2 ξ), дБ.

Рис.5.4. Логарифмічні АЧХ коливальної ланки

Характерно, що нахил асимптоти коливальної ланки складає – 40 дБ на декаду, тобто погасання АЧХ коливальної ланки на високих частотах значно помітніший, ніж для інерційної ланки.

Зазначимо, що при  корені характеристичного рівняння стають дійсними і ПФ в (2) приймає вигляд

W(s)=k/[(T₁s+1)(T₂s+1)].                                          (13)

Ланка з такою ПФ не є елементарною, її називають інерційною ланкою другого порядку, оскільки вона описує послідовне з’єднання двох інерційних ланок.

При  передатна функція (2) коливальної ланки приймає вид

.                                                  (14)

Корені такої ланки уявні, тому її не можна вважати стійкою. Ланку з ПФ виду (14) називають консервативною.

Реалізує коливальну ланку електрична RLC-схема, показана на рис.5.5.

Рис.5.5. Реалізація коливальної ланки

Дійсно, передатну функцію такої схеми

                                  (15)

легко привести до стандартної форми передатної функції коливальної ланки

,                                     (16)

де постійна часу ланки , а демпферний коефіцієнт .

Задачі

1. Знайдіть передатну функцію ланки, електрична схема якої приведена на рис.5.5, а параметри R, L, C задані в табл.5.1. Приведіть передатну функцію ланки до стандартної форми , визначивши параметри k, T, і x через R, L, C.

2. Методом теореми розкладання знайдіть вирази для часових характеристик коливальної ланки, параметри якої задані в табл. 5.2, і побудуйте графіки часових характеристик ланки.

Таблиця 5.1. Параметри R, L, C схеми на рис.5.5

3. Знайдіть формули для частотних характеристик ланки, параметри якої задані в табл. 5.2, і побудуйте графіки частотних характеристик цієї ланки.

4. Знайдіть формулу і побудуйте графік асимптотичної логарифмічної АЧХ коливальної ланки, параметри якої задані в табл. 5.2.

Таблиця 5.2. Параметри k, T і  коливальної ланки