14.2. Усталена помилка при постійній дії

Розглянемо спочатку усталену помилку системи при постійній дії, тобто статичну помилку, для системи з позиційною передатною функцію її ланцюга ланок

,                                                         (1)

де R(s) і L(s) – многочлени з одиничним вільним членом.

Передатна функція для помилки такої системи  дорівнює

.                                      (2)

Припустимо, що на вхід системи подана дія виду

x (t)=x₀ּ1(t),                                                        (3)

зображенням якої є X(s)=x₀/s. Тоді зображення помилки по Лапласу матиме вигляд

,                              (4)

а відповідне диференціальне рівняння для помилки має вигляд

, .                                  (5)

Скориставшись теоремою про кінцеве значення оригіналу усталену помилку знайдемо з (4) у вигляді:

                    (6)

В (6) враховано, що L(0)=1 і R(0)=1. Результат  можна одержати і як окреме рішення диференціального рівняння (5) враховуючи, що x₀=constі e_u=const.

Результат одержаний в (6) свідчить, що в системі з позиційною ПФ ланцюга ланок має місце статична помилка, величина якої суттєво залежить від  коефіцієнта підсилення системи k. Чим більше значення k, тим менша помилка.

Тепер розглянемо статичну помилку для системи з непозиційною ПФ її ланцюга ланок

,                                                   (7)

Зображення помилки для такої системи матиме вигляд

,                                           (8)

а статична помилка буде відсутньою, оскільки в даному випадку

.                                            (9)

Систему з нульового статичною помилкою називають астатичною. Така система має нульовий полюс в передатній функції розімкненої системи. Наявність нульового полюсу зумовлена інтегрувальною ланкою у складі ланцюга ланок системи. Систему з одним нульовим полюсом називають системою з астатизмом першого порядку. В загальному випадку можливий астатизм q-го порядку, де q – додатне ціле число.