2.2. Особливості розв’язку диференціального рівняння ланки

Розв’язком диференціального рівняння ланки

                     (1)

є функція , яка в загальному випадку має вільну (власну)  і вимушену  складові, тобто

.                                                       (2)

Відмінна від нуля вільна складова  присутня в розв’язку рівняння тільки при не нульових початкових умовах, тобто вона присутня в системі, яка має власний запас енергії, а при нульових початкових умовах вона відсутня. Дійсно, вільна складова, як відомо з [12], визначається з однорідного рівняння, яким є рівняння (1) з нульовою правою частиною. Воно має такий вигляд:

.                                             (3)

Відомо, що розв`язком рівняння (3) є експонента при умові, що показник експоненти  є коренем характеристичного рівняння

.                                             (4)

В цьому неважко впевнитись, підставивши в (3)  замість . В результаті підстановки матимемо:

.                                    (5)

Оскільки характеристичне рівняння (4) має n коренів , i=1, 2, …, n, то загальний розв’язок однорідного рівняння визначають лінійною комбінацією nекспонент, тобто

,                            (6)

де , і = 1, 2, …, n – постійні інтегрування, які визначаються з початкових умов для . Оскільки початкові умови для  і її похідних нульові, що характерно для типових задач теорії автоматичного керування, то загальний розв`язок однорідного рівняння теж буде нульовим, тобто вільна складова буде відсутня.

Вимушена складова  визначається вхідною дією  і в свою чергу має дві компоненти: перехідну  і усталену , тобто

.                                                      (7)

Перехідну компоненту теж можна представити сумою n експонент

                                      (8)

в якій коефіцієнти D_i (і = 1, 2, …, n) знаходять з початкових умов для , тобто з урахуванням вхідної дії x(t), яка відмінна від нуля. У багатьох випадках це типова вхідна дія у вигляді одиничної ступеневої функції 1(t) або у вигляді гармонічної функції sin(ωt). Усталену складову  шукають у вигляді функції, подібної до тої, яка описує дію на вході.

Зазначимо, що перехідна складова процесу  буде погасаючою, тобто асимптотично наближатись до нуля при , якщо усі дійсні корені і дійсні частини комплексних коренів характеристичного рівняння будуть від’ємними. При цьому парі  комплексно-спряжених коренів характеристичного рівняння відповідає експоненціально-коливальна компонента  перехідної складової вихідного процесу .