logo
Конспект ТАУ

14.6. Усталена помилка при довільній дії і коефіцієнти помилок

Зображення помилки замкненої системи при довільній дії x(t) на вході визначається функцією

E(s) = Фε(s)·Χ(s).                                                  (1)

Поставимо до керуючої дії вимогу, щоб х(t) була диференційованою функцією, але мала не більше ніж n похідних. Дія х(t) може бути, наприклад многочленом степені n:

x(t)=x0+x1ּt+…+xnּtn,                                             (2)

Помилку ε(t) теж представимо у вигляді многочлена степені n. Для цього розкладемо зображення помилки Фε(s) в ряд Тейлора і обмежимось n+1членами, переписавши (1) у вигляді:

         (3)

де

.                                            (4)

Перейдемо від зображення помилки до оригіналу в символічній формі:

                          (5)

де . Вираз (5) в звичайній формі матиме вигляд:

.                             (6)

Усталена помилка має місце при великих значеннях t, тобто

.                                          (7)

Величини Сi прийнято називати коефіцієнтами помилок. Величину С0 називають коефіцієнтом статичної помилки, C1-коефіцієнтом швидкісної помилки, С2-коефіцієнтом помилки прискорення.

Визначення коефіцієнтів помилок для систем високого порядку за формулою (4) потребує громіздких математичних перетворень. Існує простий метод визначення коефіцієнтів [1], який можна назвати методом ділення. Суть методу в тому, що чисельник ПФ Фε(s) послідовно ділять (починаючи з молодших членів) на знаменник. Многочлен частки має таку структуру

 .                                       (8)

Це дає можливість легко визначити коефіцієнти помилок з результату ділення.

Задачі

1. Знайдіть статичну помилку системи регулювання з передатною функцією ланцюга ланок  при вхідній дії  x(t) = 1(t).

2. Знайдіть усталену помилку системи з передатною функцією її ланцюга ланок  при вхідній дії  x(t) = 1+0,01t.

3. Для автоматичної системи, розімкнена частина якої являє собою інерційну ланку з параметрами k = 50 і T = 1/6,28 с знайдіть амплітудну і фазову помилку на частоті f = 1 Гц.

4. Визначте амплітуду  і частоту синусоїдальної дії , яка еквівалентна вхідній дії x(t) з максимальною швидкістю v = 2 і максимальним прискоренням a = 1.

5. Визначте коефіцієнти помилок C0, C1, C2 і відповідні складові самої помилки за період синусоїдальної вхідної дії u(t) = sin (6.28ּt) для системи з передатною функцією ланцюга ланок 

6. Покажіть, що замкнена система з передатної функцією ланцюга ланок

має такі коефіцієнти помилок 

,  , .