10.4. Матрична форма диференціального рівняння

Тепер покажемо, як одержане диференціальне рівняння n-го порядку представити у вигляді системи n рівнянь першого порядку і як потім одержану систему записати в матричній формі, що спрощує розв’язування рівняння на ЕОМ. Спочатку рівняння системи

   (1)

розв’яжемо відносно старшої похідної, після чого воно прийме такий вигляд:

.     (2)

Одержане рівняння можна розв’язати одним з чисельних методів, якщо рівняння n-го порядку представити системою n рівнянь першого порядку з nневідомими y₁, y_{2, …} y_n. Для цього достатньо ввести позначення

,                      (3)

і записати систему n рівнянь в такому вигляді:

..............

.                                                                                                      (4)

Початкові умови для невідомих y₁, y₂, … , y_n тут вважаються нульовими, а члени з x(t) і її похідними відомими.

Матрична форма системи рівнянь (4) має вид

,                                                       (5)

де

 –  - вектор-стовпець похідних y₁¢, y₂¢, … , y_n¢ невідомої фунції ,

А – - матриця коефіцієнтів змінних y₁, y₂, … , y_n,

Y –  - вектор-стовпець невідомих,

В –  - матриця коефіцієнтів керуючої дії і її похідних,

X –  - вектор-стовпець керуючої дії і її похідних.