21.3. Порівняння перетворень Лапласа із z- перетворенням і умова стійкості цифрової системи

Для розрахунку аналогових систем, як відомо, широко застосовують неперервне перетворення Лапласа. Пряме перетворення Лапласа визначається виразом

.                                          (1)

Змінна перетворення Лапласа

                                                        (2)

є величиною комплексною. Полюси стійкої системи можуть знаходитись тільки в межах лівої (заштрихованої) частини площини s, зображеної на рис. 21.2.а.

Для розрахунку дискретних лінійних систем спочатку широко використовували дискретне перетворення Лапласа, яке визначається виразом

,                              (3)

змінна перетворення якого

.                           (4)

При переході від неперервного перетворення до дискретного вісь jω площини s трансформувалась у вертикальну вісь jωT комплексної площини sT,зображеної на рис. 21.1 б. При зміні ω від -¥ до +¥ вісь jωT поділяється на безліч відрізків висотою 2π, а вся площина sT поділяється на безліч горизонтальних смуг висотою 2π. Кожна смуга відповідає частотному діапазону Dω=ω_d, де ω_d = 2π/T - кругова частота дискретизації. Смуга площини з подвійною штриховкою відповідає відрізку ωT від 0 до π, тобто частотному діапазону від 0 до ω_d /2, в якому знаходиться частотна область аналогової системи або сигналу. Полюси стійкої дискретної системи теж повинні знаходитись тільки в межах лівої (заштрихованої) частини площини sT, оскільки ця частина площини змінної sT=σT+jωT відповідає лівій півплощині змінної s=s+jω.

Рис.21.2. Геометричний образ комплексних змінних s, sT і z = e^sT

Більш зручним для розрахунку дискретних систем виявилось z- перетворення, яке можна розглядати як модифікацію дискретного перетворення Лапласа. Дійсно, вираз для z-перетворення

,                                 (5)

одержаний з виразу (3) дискретного перетворення Лапласа заміною e^sT на z. Змінну z можна представити у вигляді

.        (6)

Звідси видно, що величина jωT, яка на площині sT дискретного перетворення Лапласа зображується вертикальною віссю, замінюється величиноюe^jωT=cos(ωT)+jsin(ωT), яка зображується на площині z колом одиничного радіуса (рис. 21.1.в). Точка з координатами (1,0) на колі площини z відповідає частотам ±k ω_d  (k=0, 1, 2, …), а точка з координатами (-1,0) відповідає частотам ±m ω_d /2  (m=1, 2, …). Неважко показати, що при переході від дискретного перетворення Лапласа до z- перетворення вся ліва частина (область стійкості) площини sT перетворюється в круг одиничного радіуса на площині z. Дійсно, для стійкої системи s<0, тому |z|=e^sT<1. Модуль z стає рівним одиниці при s=0, тобто коли система виходить на границю стійкості.

Виходячи з того, що областю стійкості на площині z стає круг одиничного радіуса можна сформулювати для дискретної системи таку умову стійкості, еквівалентну умові стійкості неперервної системи: необхідною і достатньою умовою стійкості дискретної системи є локалізація всіх полюсів її передатної функції в середині круга одиничного радіуса. Оскільки полюси системи визначаються коренями її характеристичного рівняння, умову стійкості можна конкретизувати так: необхідна і достатня умова стійкості дискретної системи забезпечується значенням модулів усіх коренів її характеристичного рівняння меншими від одиниці.

Система, яка знаходиться на границі стійкості, матиме корінь, модуль якого дорівнює одиниці. Не стійка система матиме корінь, модуль якого більший за одиницю.

Задачі

1.            Представте функцію X(z)=z/(z-1) рядом Лорана.

2.            Знайдіть значення x(0) і x(¥), якщо X(z)=(k₁/T₁)/[z-exp(-T/T₁)].

3.            Знайдіть z-зображення експоненціальної послідовності x(nT)= е^{-a n T} .

4.            Знайдіть Z-зображення функції 

5.            Знайдіть оригінал х(nТ) за його зображенням .