22.3. Метод білінійного перетворення

Метод білінійного перетворення виник з намагання прямої заміни змінної s на змінну z. Порівняння виразу для дискретного перетворення Лапласа з виразом для z- перетворення виявляє такий зв’язок між цими змінними:

.                                                       (1)

З виразу (1) одержуємо

.                                                      (2)

Підстановка в передатну функцію неперервної системи  замість s приводить до значних труднощів при аналізі дискретної системи, оскільки дробово-раціональний вираз для передатної функції неперервної системи перетворюється в трансцендентний для дискретної системи. Вихід був знайдений в наближеній заміні s на z згідно з виразом

,                                                      (3)

взятим з розкладання  в ряд Тейлора:

.             (4)

Обмеження в (4) першим (лінійним) членом ряду і дає правило наближеної заміни (3), яке називають прямим білінійним перетворенням.

З виразу (3) знаходимо правило зворотного білінійного перетворення

,                                                  (5)

яким можна скористатись для отримання передатної функції неперервної системи з передатної функції її дискретного прототипу.

Покажемо застосування методу білінійного перетворення на прикладі інерційної ланки з параметрами k₁, T₁ і передатною функцією

.                                                (6)

Дискретну передатну функцію інерційної ланки одержуємо заміною s на z по правилу (3) в такому вигляді:

.                                    (7)

Порівнюючи вирази для W(z), одержаних різними методами, помічаємо що вони відрізняються між собою. Тому постає питання, яким методом можна одержати дискретну систему, характеристики якої точніше відображають характеристики аналогового прототипу. Спеціальні дослідження показують, що середньоквадратична похибка по сукупності відтворення усіх характеристик (частотних і часових) найменша при рівних інших умовах для методу дискретизації імпульсної характеристики і найбільша для методу дискретизації диференціального рівняння. Точність білінійного методу незначно відрізняється від точності методу дискретизації імпульсної характеристики. При цьому білінійний метод зручніший від методу дискретизації імпульсної характеристики при розрахунках дискретних систем. Тому в подальшому будемо застосовувати переважно білінійний метод.

Задачі

1.       Методом дискретизації імпульсної характеристики знайдіть передатну функцію W(z) цифрового фільтру, аналоговим прототипом якого є інтегрувально-інерційна ланка з параметрами k₁=10, T₁=0,1.

2.     Методом дискретизації диференціального рівняння знайдіть передатну функцію W(z) цифрового фільтру, аналоговим прототипом якого є інтегрувально-інерційна ланка з параметрами k₁=10, T₁=0,1.

3.     Знайдіть білінійним методом передатну функцію W(z) цифрового фільтру, аналоговим прототипом якого є інтегрувально-інерційна ланка з параметрами  k₁=10, T₁=0,1.

4.     Методом дискретизації імпульсної характеристики знайдіть передатну функцію W(z) цифрового фільтру, аналоговим прототипом якого є інтегрувально-інерційна ланка з параметрами k₁=10, T₁=0,1. Цим же методом знайдіть дискретну ПФ ідеального інтегратора. Перемножте знайдені дискретні ПФ. Знайдіть дискретну ПФ послідовно з’єднаних інерційної ланки з інтегратором як інтегро-інерційної ланки і впевніться в тому, що знайдена ПФ не дорівнює раніше знайденого добутку.

5.     Виконайте  попередню  задачу  із  застосуванням  білінійного  методу  z-перетворення. Порівняйте результати і зробіть висновок про особливості застосованих методів цифрового моделювання неперервної системи.