logo
Конспект ТАУ

3.4. Часові характеристики ланки

 

Передатну функцію W(s) використовують для визначення зображення  вихідного процесу через відоме зображення  вхідного процесу:

                                                       (1)

Від зображення  вихідного процесу зворотним перетворенням Лапласа знаходять оригінал

                                      (2)

тобто вихідний процес. Цією методикою користуються для визначення, зокрема, часових характеристик ланки: імпульсної (вагової) характеристики p(t) і перехідної характеристики h(t).

Імпульсною характеристикою ланки p(t) називають реакцію (відгук) ланки на дельта-функцію на її вході. Оскільки зображенням дельта-функції d(t) є одиниця, то з (2) отримуємо

P(s)=W(s),                                                        (3)

тобто, передатна функція ланки є одночасно зображенням її імпульсної характеристики. Саму ж імпульсну характеристику одержуємо з (3) зворотним перетворенням Лапласа:

                                                    (4)

Перехідною характеристикою ланки h(t) називають реакцію ланки на одиничну ступеневу функцію на її вході. Оскільки зображенням одиничної ступеневої функції 1(t), t ≥ 0 є 1/s, то з (2) отримуємо

H(s)=W(s)/s,                                                     (5)

тобто, зображенням перехідної характеристики ланки є її передатна функція, поділена на змінну s. Перехідну характеристику одержуємо з (5) зворотним перетворенням Лапласа:

                                                    (6)

Оскільки з (2) і (5) виходить, що

P(s) = H(s)×s,       H(s)=P(s)/s,                                      (7)

то з урахуванням властивостей перетворення Лапласа одержуємо додатково такі залежності між імпульсною і перехідною характеристиками:

,                                                  (8)

.                                                (9)

Таким чином, з відомої перехідної характеристики імпульсну характеристику можна знайти операцією диференціювання, а перехідну характеристику з відомої імпульсної характеристики можна знайти інтегруванням.

Для прикладу розглянемо частотні характеристики ланки з вище одержаною передатною функцією W(s)=1/(T×s+1). Зображення імпульсної характеристики цієї ланки

P(s)=W(s)=1/(T×s+1).                                                          (10)

Зворотне перетворення Лапласа від P(s), одержане за допомогою теореми розкладання або безпосередньо з таблиці перетворення Лапласа дає імпульсну функцію у такому вигляді:

.                                              (11)

Перехідну характеристику тепер легко знаходимо інтегруванням імпульсної характеристики p(t) за формулою (9):

.                                                   (12)

Графіки одержаних часових характеристик приведені на рис. 3.4.



 

Рис.3.4. Часові характеристики ланки з ПФ 1/(T×s+1)

 

 

Задачі

 

1. Визначте передатну функцію W(s) ланки з її диференціального рівняння

(Т1p+1)×y(t) = k1×x(t), де p=d/dt.

2. Знайдіть диференціальне рівняння ланки з її передатної функції

3. Визначте передатну функцію W(s) ланки з її диференціального рівняння

Приведіть W(s) до виду

,

виразивши Т і x через Т2 і Т1.

4. Знайдіть передатні функції ланок, заданих електричними схемами, показаними рис. 3.5.

5. Методом теореми розкладання знайдіть перехідну характеристику h(t) ланки з передатною функцією  Визначте імпульсну характеристику p(t) через h(t).

6. Знайдіть перехідну характеристику h(t) ланки з передатною функцією

.

Визначте імпульсну характеристику p(t) через h(t).

 




Рис.3.5. Ланки, задані електричними схемами