4.1. Частотна передатна функція ланки

Частотними характеристиками ланки називаються функції, які описують залежність амплітуди і фази гармонічного коливання на її виході від частоти гармонічної дії на вході в усталеному режимі. Частотні характеристики ланки визначають з її частотної передатної функції (ЧПФ). Покажемо, що частотну передатну функцію можна одержати із звичайної передатної функції заміною в ній s на  jw.  

Якщо на вході ланки діє гармонічне коливання

,                                                      (1)

де  - кругова частота коливання, то, як показано на (рис. 4.1), на її виході в усталеному режимі теж буде гармонічне коливання

.                                              (2)

Рис.4.1. Гармонічний сигнал в лінійній системі

Значення A і φ на різних частотах можуть бути різними. Залежність A(w) називають амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ), а φ(ω) – фазово-частотною характеристикою (ФЧХ).

Частотні характеристики визначають з частотної передатної функції (ЧПФ), користуючись комплексним зображенням сигналів. Комплексне зображення сигналу на вході ланки

X(jwt) = e^j×w×t = cos(wt)+j×sin(wt),                                      (3)

а на виході

Y(jwt) =A(w) e^{j×[w×t+j(w)]} = A(w)×cos[wt+j(w)]+j×A(w)×sin[wt+j(w)].           (4)

Геометрична інтерпретація функції X(jwt)=e^j×w×t вектором комплексної площини, який обертається навколо початку координат і проекції якого на осі координат описуються гармонічними функціями  і , приведена на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Інтерпретація гармонічного сигналу

Підставивши в диференціальне рівняння ланки

                       (5)

замість функцій x(t) і y(t) їх комплексні зображення і виконавши операції диференціювання, одержимо зображення диференціального рівняння у вигляді

.                       (6)

Взявши відношення зображення вихідного сигналу до зображення сигналу на вході, одержимо частотну передатну функцію у вигляді

.         (7)

Як видно з виразу (7) частотну передатну функцію ланки (ЧПФ) легко одержати із звичайної передатної функції. Для цього достатньо в передатній функції W(s) змінну s замінити змінною jw, тобто

W(jw)=W(s)|_s=jw                                                      (8)

Якщо, наприклад, звичайна ПФ ланки

W(s)=k/(T s+1),                                                      (9)

то частотна ПФ матиме такий вид

W(jw)=k/[T(jw)+1].                                                 (10)