2.4. Перетворення Лапласа і його властивості

Пряме перетворення Лапласа

                                                         (1)

ставить у відповідність часовій функції х(t) функцію X(s) комплексної змінної s= σ + jω. Скорочено це записують так

,                                                              (2)

де L – оператор Лапласа.

Припускається, що х(t) визначена на додатній півосі часу [0, ∞], де вона кусково-диференційовна і обмежена по модулю функцією тобто, |x(t)| ≤ , де М > 0 і с > 0.

Зворотне перетворення Лапласа

,                                          (3)

в якому інтегрування проводиться по прямій Re(s)=σ₀>c, ставить у відповідність функції X(s) комплексної змінної s= σ + jω функцію часу x(t), що скорочено записують так:

x(t) = L^-1 {X(s)},                                                       (4)

де L^-1 – оператор зворотного перетворення Лапласа. Функцію x(t) називають оригіналом, а X(s) – зображенням.

З основних властивостей перетворення Лапласа нагадаємо такі:

1)            лінійність полягає у тому, що

L{α x₁(t) + β x₂(t)} = α L{x₁(t)} + β L{x₂ (t)};                           (5)

2)            диференціюванню оригінала при нульових початкових умовах відповідає множення зображення на s, тобто

;                                                  (6)

3)            диференціюванню оригінала при ненульових умовах відповідає зображення

;   (7)

4)            інтегруванню оригінала відповідає ділення зображення на S, тобто

L;                                             (8)

5)            згортці функцій x₁(t) i x₂ (t) відповідає добуток їх зображень, тобто

;          (9)

6)            запізненню аргументу оригінала на τ > 0 відповідає множення зображення на e^-sτ, тобто

L{x(t-τ)} = e^-sτ L{x(t)} = e^-sτ X(s);                                 (10)

7)            кінцеве значення оригіналу x(∞) визначається граничним значенням помноженого на s зображення X(s) при s → 0, тобто

;                                            (11)

8)            початкове значення оригіналу x(0) дорівнює граничному значенню помноженого на s зображення X(s) при s → ∞, тобто

.                                            (12)

Оригінал х(t) дробово-раціонального зображення X(s)

                             (13)

з n простими коренями s_i, i=1, 2, …, n знаменника у відповідності з теоремою розкладання визначається такою сумою n експонент

,  де   .                    (14)

Якщо серед коренів знаменника є k-кратний дійсний корінь s_j, то йому відповідає така складова оригінала:

.                      (15)

Другим практичним методом переходу від зображення до оригіналу є представлення зображення у вигляді суми простих дробів за допомогою правил розкладання на елементарні дроби [12].

Зворотне перетворення Лапласа для простих дробів легко одержати безпосередньо з таблиць перетворення Лапласа. Для цього корисно пам’ятати декілька відповідностей між оригіналами x(t) і їх зображеннями, приведених нижче у невеличкому фрагменті таблиці перетворення Лапласа.

Задачі

1. Знайдіть зображення за Лапласом функції .

2. Знайдіть зображення за Лапласом згортки .

3. Знайдіть зображення функцій , .

5. Знайдіть значення х(∞) для функції x(t), зображенням якої є 

6. Знайдіть значення x(0) функції x(t), зображенням якої є  

7. За допомогою теореми розкладання знайдіть оригінали таких зображень: