22.2. Метод дискретизації диференціального рівняння

В цьому методі диференціальне рівняння неперервної системи замінюють його дискретним варіантом, яке називається різницевим рівнянням. Для цього в диференціальному рівнянні неперервної системи замінюють неперервні похідні дискретними, зокрема, першу і другу похідні можна замінити згідно з такими правилами:

.            (1)

Для переходу від різницевого рівняння до дискретної передатної функції W(z) потрібно перейти від дискретних змінних x(nT), y(nT) рівняння до їх z- зображень X(z), Y(z). При цьому потрібно члени різницевого рівняння виду x(nT-kT), y(nT-kT) згідно з властивістю про запізнення оригіналу заміняти на відповідні зображення згідно з такими правилами:

.                       (2)

Після цього одержане рівняння для зображень потрібно переписати так, щоб його ліва частина була відношенням зображення Y(z) до X(z). Тоді права частина рівняння і являтиме собою дискретну передатну функцію W(z).

Покажемо застосування цього методу на прикладі інерційної ланки з параметрами k₁, T₁, диференціальне рівняння якої

.                                                  (3)

Замінивши в (3) неперервну похідну dy/dt дискретною одержимо різницеве рівняння ланки, представлене в такому вигляді:

.                               (4)

Замінимо в (4) функції часу їх z-зображеннями, в результаті чого одержимо z-зображення диференціального рівняння

.                                       (5)

Перепишемо рівняння (5) у вигляді

.                                                 (6)

Права частина виразу (6) і є дискретною передатною функцією інерційної ланки, тобто

.                                                  (6)