23.2. Різницеве рівняння цифрової системи

Розглянемо методику одержання різницевого рівняння з передатної функції цифрової системи. Якщо вхідну дію цифрової системи позначити якx(nТ), а вихідну як y(nТ), то передатну функцію ЦС можна записати у такому загальному вигляді

.                          (1)

де  X(z) i Y(z) – z-зображення відповідно вхідної і вихідної дій.

Для передатної функції, синтезованої білінійним методом, степінь n знаменника, який визначає порядок системи, дорівнює степеню m чисельника. Тому прийнявши m=n і поділивши многочлени чисельника і знаменника на старший член знаменника (a₀∙zⁿ), представимо передатну функцію Φ(z) в такій формі

,                              (2)

де .

З урахуванням того, що , перепишемо рівняння (2) в такому вигляді:

.   (3)

Перейдемо тепер від зображень X(z) i Y(z) до оригіналів x(kT) i y(kT). При цьому зважимо на те, що множних  відповідає запізненню оригінала на kінтервалів дискретизації Т. В результаті одержимо різницеве рівняння системи у вигляді

.          (4)

Рівняння (4) доповнюється умовами:

x(kT)=0  при k<0,                                                   (5)

y(kT)=0,  при k<0.                                                  (6)

Різницеве рівняння дає можливість розрахувати значення вихідного сигналу y(kТ) в дискретні моменти часу kТ при відомих значеннях вхідного сигналу x(kT). Як рекурентне відношення між попереднім і наступним значеннями вихідної величини різницеве рівняння є досить зручною математичною моделлю ЦС. Воно дозволяє розраховувати часові і частотні характеристики ЦС при умові подачі на вхід системи потрібний для визначення тієї чи іншої характеристики вхідний сигнал x(kТ) і послідовно обчислювати значення y(kТ). Різницеве рівняння зручно розв’язувати на ЕОМ за допомогою математичних програм.

Покажемо методику розрахунку різницевого рівняння на прикладі інерційної ланки, для якої дискретна передатна функція була одержана методом білінійного перетворення в такому вигляді:

.                                         (7)

Поділивши чисельник і знаменник на старший член знаменника одержимо

.                                         (8)

Перепишемо (8) в компактній формі

,                                                (9)

де b₀=b₁=k₁T/(T+2T₁),  a₁= (T-2T₁)/ (T+2T₁).

З урахуванням того, що  з (9) одержимо:

.                          (10)

Після цього зворотним z-перетворенням з (10) одержимо різницеве рівняння ланки в такому вигляді

.                  (11)

Якщо порівняємо одержане різницеве рівнянням з різницевим рівнянням цієї ж ланки, одержаним в попередній главі методом дискретизації диференціального рівняння, то помітимо, що при однаковій структурі вони відрізняються величинами коефіцієнтів.