24.2 Прямий метод розрахунку частотних характеристик цифрової системи

Частотну передатну функцію W(jω), з якої визначають амплітудно-частотну і фазово-частотну характеристики, одержують із звичайної передатної функції, яку для цифрової системи можна записати в такому загальному вигляді:

.                                (1)

Загальний метод розрахунку частотної передатної функції для неперервних і цифрових систем зводиться до заміни в передатній функції змінної sзмінною jω. В передатній функції неперервної системи змінна s присутня явно, а в передатній функції дискретної системи її можна виявити двома основними способами. Перший спосіб виконується точною заміною z на s за формулою

.                                                   (2)

Метод розрахунку частотних характеристик з використанням підстановки (2) назвемо прямим або точним і розглянемо його детальніше. Замінимо в (2) z на jω і представимо результат заміни в більш практичній для розрахунків комплексно-алгебраїчній формі:

z = exp(jwT) = cos(ω∙T) + j∙sin(ω∙T).                                   (3)

Тепер в (1) замінимо змінну z на cos(ω∙T) + j∙sin(ω∙T). Результатом заміни буде комплексна частотна передатна функція W(w), комплексні вирази у чисельнику і знаменнику якої представимо спочатку у комплексно-алгебраїчній формі

,                            (4)

але після розрахунку дійсної і уявної складових комплексних виразів чисельника і знаменника для зручності подальших розрахунків представимо комплексні вирази чисельника і знаменника частотної ПФ в експоненціальній формі

                                                 (5)

де

,  ,             (6)

,                    (7)

.                   (8)

Тут для компактності формули для f₁(w) і f₂(w) записані так, як вони обчислюються програмою MathCad у відповідності з повною формулою обчислення функції arctg(b/a) для визначення кута величини a+jb. Смисл обчислення за формулами (7) і (8) очевидний: якщо дійсна складова комплексного виразу від’ємна то до головного значення функції arctg додається кут π.

Амплітудно-частотну характеристику цифрової системи визначимо з (5) як

A(w)=|W(w)|=M₁(w) / M₂(w),                                              (9)

а фазово-частотну характеристику як

j(w)=arg W(w)=f₁(w) - f₂(w).                                            (10)

При порівнянні частотних характеристик цифрової і неперервної систем слід пам’ятати, що воно можливе тільки в діапазоні частот від 0 до половинної частоти дискретизації p/T, де характеристики можуть бути подібними але не можуть для реальних систем точно співпадати між собою. Якщо дискретна передатна функція W(z) синтезована методом білінійного перетворення заміною s на z за формулою

,                                                      (11)

то розбіжність між частотними характеристиками цифрової системи і її аналогового прототипу можна визначити з таких міркувань. Зробимо в (11) заміну z на e^sT з наступною заміною в лівій частині змінної s на jω, а в правій на jω_c, де символом ω_c позначимо „цифрову” частоту, тобто частоту для частотних характеристик цифрової системи. В результаті такої заміни одержимо залежність між „аналоговою” і „цифровою” частотами у вигляді:

.                                           (12)

Звідси видно, що цифрова і аналогова частотні осі мало відрізняються між собою тільки в діапазоні низьких частот, коли аргумент тангенса <<1.Чим менший інтервал дискретизації T, тобто чим більша частота дискретизації F=(1/T), тим ширший діапазон частот, в якому спостерігається наближена рівність ω_c @ ω, але завжди половинній частоті дискретизації ω_c =(π/T) цифрової системи відповідає частота ω = ¥ аналогової системи. Це означає, що увесь безконечний інтервал [0,¥] „аналогових” частот відображений в інтервалі [0,π/T] „цифрових” частот.