25.1. Розрахунок точності роботи цифрової системи

Точність цифрової системи оцінюють статичними і динамічними помилками. Статична помилка дорівнює усталеній помилці при постійній дії на вході системи. Згідно з теоремою про кінцеве значення оригіналу помилку при вхідній дії x(t)=x₀ּ1(t) знаходимо з виразу

,              (1)

де X(z) =Z{1(nT)}=z/(z-1) – зображення вхідної дії,

      –  передатна функція для помилки.

Систему з нульовою статичною помилкою називають астатичною, а в іншому випадку – не астатичною. З виразу (1) видно, що нульова статична помилка може мати місце тільки при умові, що передатна функція W(z) розімкненої системи має полюс при z=1. Порядок астатизму системи визначає кратність полюсу в точці z=1. Систему з r-кратним полюсом називають системою з астатизмом r-го порядку.

Динамичні помилка теж визначаються в усталеному режимі, але при змінній керуючій дії. Тому динамічну помилку теж можна знайти з її  z-зображення за допомогою теореми про кінцеве значення.

Більш загальний підхід до визначення помилки пов’язаний з формулою розкладання її в ряд Тейлора

e(nT) = С₀ x(nT) + С₁ x¢(nT) + (1/2!) С₂ x² (nT) + … + (1/k!) С_k x^(k) (nT),       (2)

де С₀, С₁, С₂, … – коефіцієнти помилок стану, швидкості, прискорення і так далі, x(nT) – вхідна дія.

Коефіцієнт помилки С_k цифрової системи можна знайти з формули

,                                                 (3)

яка аналогічна формулі для помилки неперервної системи, але зручніше користуватись такими еквівалентними відносно (3) формулами, в яких виконана заміна е^st= z:

.  (4)

Величиною коефіцієнтів помилок оцінюють чутливість помилки системи до постійної дії на вході, до швидкості, з якою змінюється вхідна дія, до прискорення вхідної дії та до інших показників зміни вхідної дії.

В системі з астатизмом порядку k коефіцієнти C₀, C₁,…, C_k-1 дорівнюють нулю, завдяки чому помилка системи при поліноміальній дії виду

.                                                                (11.4)

теж дорівнює нулю.