24.4. Особливості розрахунку частотних характеристик замкненої цифрової системи

Частотні характеристик замкненої цифрової системи з передатною функцією

.                                 (1)

можна розрахувати будь-яким описаним вище методом. Для цього спочатку потрібно розрахувати частотну передатну функцію від звичайної („цифрової”) або від псевдочастоти, після чого АЧХ знайти як модуль частотної передатної функції, а ФЧХ – як її аргумент. Однак, якщо в процесі розрахунку цифрової системи спочатку розраховані частотні характеристики А(w) і j(w) її розімкненої частини, то останні можна використати для розрахунку характеристик замкненої системи за допомогою формул:

,                                      (2)

.                                             (3)

Ці формули були одержані одержані для неперервної системи, але достатньо загальні припущення, при яких вони були виведені, дозволяють їх застосовувати і для розрахунку цифрової системи. Частотний діапазон застосування цих формул при розрахунку цифрової системи обмежений половиною частоти дискретизації π/T.

При розрахунку ФЧХ j_з(w) потрібно контролювати знаменник виразу (3). Зокрема, при від’ємних значеннях знаменника необхідно у даному випадку результат обчислення функції  arctg(x)  зменшити на величину p.

Зауваження відносно розбіжності між частотними характеристиками цифрової системи і її аналоговим прототипом, висловлені вище, залишаються справедливими і в даному випадку.

Задачі

1.       Визначте ПХ h(nT) замкненої цифрової системи, ланцюг ланок аналогового прототипу якої складається з підсилювача з k₀=100 та інерційної ланки з параметрами k₁=1 і Т₁=0,1. Значення h(nT) для декількох значень nT знайдіть з представлення H(z) рядом Лорана при Т=0,1×Т₁.

2.       Знайдіть ПФ цифрового фільтру, прототипом якого є ланцюг ланок з інтегратором, підсилювачем з коефіцієнтом k₀ та інерційна ланка з параметрамиk₁ і T₁. Прямим методом заміни z на exp(sT) знайдіть частотну ПФ цифрового фільтра, а також формули для АЧХ і ФЧХ.

3.       Методом дискретизації імпульсної характеристики знайдіть передатну функцію цифрового фільтра, еквівалентом якого є інерційна ланка з параметрами k₁=10, T₁=0,1. Зворотним білінійним перетворенням знайдіть формули для АЧХ і ФЧХ цифрового фільтра і побудуйте відповідні частотні характеристики в діапазоні частот від 0 до p/T, де візьміть Т£0,1ּT₁.