13.1. Критерій стійкості Михайлова

Радянський вчений Михайлов сформулював свій критерій в 1938 році на основі спостережень над частотним годографом характеристичного многочлена замкненої системи. Як відомо характеристичний многочлен системи n-го порядку має вид:

                                          (1)

Замінивши s на jω і розклавши результат на дійсну і уявну частини, одержимо

                                                     (2)

де

.                                 (3)

Зокрема, для системи першого порядку 

,                                            (4)

для системи другого порядку 

,                                      (5)

для системи третього порядку 

.                            (6)

На рис. 13.1 побудовані годографи вектора A(jω) для стійких систем різного порядку. Як випливає з вище приведених виразів і як видно з рисунку, годограф вектора A(jω) завжди бере початок в точці (a₀,0) площини (X,Y), бо при ω = 0  X(0) =a₀, Y(0)=0. Квадрант (четвертина) площини (X,Y) в якому закінчується при ω = ¥ частотний годограф A(jω) системи залежить від її порядку. Для системи другого порядку кінець годографа лежить в другому квадранті, ; для системи третього порядку – в третьому квадранті ; для системи четвертого порядку – в четвертому квадранті . Для системи 5-того порядку годограф закінчується в першому квадранті .

Рис. 13.1. Частотні годографи характеристичних многочленів стійких САР

Узагальненням аналізу годографів характеристичного многочлена стійких систем різного порядку і став критерій Михайлова, який можна сформулювати так: для стійкої лінійної системи n-ного порядку необхідно і достатньо, щоб приріст аргументу (фази) характеристичного многочленаD(jω) при зміні ω від 0 до ¥ дорівнював , тобто, щоб 

,    0 £ ω £ ¥.                                               (4)

Для прикладу на рис. 13.2 показаний годограф системи п’ятого порядку, яка знаходиться на границі стійкості.

Рис. 13.2. Годограф Михайлова системи, яка знаходяться на границі стійкості

Для нього приріст аргументу не дорівнює 5π/2. При переміщенні ж точки ω₀ на будь-яку величину вправо явно покаже, що сумарний приріст аргументу складає всього π/2, що буде свідчити про нестійкість системи.

Критерій Михайлова знайшов широке застосування для дослідження стійкості неперервних і цифрових лінійних систем автоматичного регулювання.