13.2. Критерій стійкості Найквіста

Частотний критерій американського вченого Найквіста (1932 рік) формулюється так: якщо розімкнена система знаходиться в області стійкості або на її границі, то для стійкості замкненої системи необхідно і достатньо, щоб частотний годограф (АФЧХ) розімкненої системи не охоплював точку -1на дійсній осі.

Справедливість критерію покажемо на прикладі стійкої системи без астатизму, передатна функція ланцюга ланок якої

.                  (1)

Передатна функція замкненої системи

.                                                (2)

Розглянемо допоміжну передатну функцію

,                                              (3)

де C(s) – характеристичний многочлен замкненої системи,

     A(s) - характеристичний многочлен розімкненої системи.

Згідно з критерієм Михайлова  при 0 £ ω £ ¥, але для A(jω), як многочлена n-ного степеню теж  при 0 £ ω £ ¥. Тому приріст фази годографа допоміжної частотної ПФ W₁(jω) дорівнює нулю, тобто

,   ω £ 0 £ ¥.                                            (4)

Останнє означає, що годограф W₁(jω) не охоплює початок координат, як показано для прикладу на рис. 13.3.

Тепер приймемо до уваги, що ЧПФ розімкненої системи

,                                                      (5)

тобто годограф ЧПФ розімкненої системи, це годограф допоміжної ЧПФ W₁(jω), здвинутий вліво на одиницю, як і показано на рис. 13.4.

Рис. 13.3. Годографи ПФ W₁(s), які не охоплюють точки (0,0)

При цьому, якщо годограф W₁(jω) не охоплював початок координат як на рис.11.3, то годограф W(jω) не охоплюватиме точку (-1,0), що і стверджує критерій Найквіста.

Рис. 13.4. Приклад годографів W(jω) стійких систем

На відміну від інших критерій Найквіста досить практичний. Він широко застосовується як при теоретичному, так в при експериментальному дослідженні систем. Останнє є головною перевагою цього критерію, яка обумовлена можливістю вимірювання частотних характеристик фізичними приладами.