12.5. Визначення границь стійкості системи з критерію Гурвиця

Для характеристичного рівняння n-го степеню з додатними коефіцієнтами

                                 (1)

аперіодична границя стійкості, що відповідає кореню s_i = 0 може мати місце тільки при умові рівності нулю вільного члена, тобто, при a_n= 0. Коливальна границя, яка відповідає парі чисто уявних коренів рівняння (1), має місце при D_n-1=0 при умові, що усі попередні визначники додатні. Нескінченна границя, яка відповідає кореню s_j = ¥ може мати місце тільки при a₀=0.

Визначення умов для границь стійкості покажемо на прикладі системи третього порядку з передатною функцією

                                   (3)

і характеристичним рівнянням

.                                     (4)

Якщо вільний член k>0, то у відповідності з критерієм Гурвиця система буде стійкою при умові, що добуток середніх коефіцієнтів більший за добуток крайніх, тобто

.                                                  (5)

Границі областей стійкості системи показані на рис. 12.4. Вони визначені з таких міркувань.

Рис. 12.4. Визначення областей стійкості

Аперіодична границя має місце при наявності нульового кореня в рівнянні (4), тобто при k_min = k₁=0. Коливальна границя буде мати місце коли добуток середніх коефіцієнтів рівняння (4) стане рівним добутку крайніх, тобто при

,                                                        (6)

що випливає з умови D ₂= 0.

З (6) знаходимо

.                                              (7)

Таким чином, перше граничне значення k дорівнює k₁=0, а друге . Область стійкості по параметру k при фіксованих значеннях параметрівT₁ і T₂ показана на рис. 12.4.а.

На рис. 12.4.б показана визначена з (6) границя стійкості системи на площині параметрів (k,T₁) при фіксованому параметрі T₂. Ця границя визначається функцією

,                                                   (8)

одержаною з (6). В ній (1/T₂)=const.  

Нескінченна границя буде мати місце при a₀=0, тобто при T₁×T₂=0, для чого достатньо щоб T₁=0 або T₂=0.

Задачі

1.     Для САР, структурна схема якої приведена на рис.12.5, а значення параметрів в табл.12.1, визначте аперіодичний і коливальний запаси стійкості.

Рис.12.5. Структурна схема САР

Таблиця 12.1. Значення параметрів k₁, Т₁, k₀, k₂, Т₂.

2. Для умов задачі 1 визначте стан стійкості системи за критерієм Рауса. Визначте граничні значення і запас стійкості коефіцієнта підсилення k=k₀k₁k₂ з граничних умов стійкості системи.

3. Для умов задачі 1 визначте стан стійкості системи за критерієм Гурвиця. Визначте граничні значення і запас стійкості коефіцієнта підсилення k=k₀k₁k₂з граничних умов стійкості системи.

4. Для умов задачі 1 визначте стан стійкості системи за критерієм Гурвиця. Визначте область стійкості системи на площині параметрів (T₁, k) при фіксованому значенні параметра T₂. Покажіть область стійкості на рисунку.