10.5. Система рівнянь з неформальними змінними стану

Змінні стану y₁, y₂, …, y_n системи n-го порядку, розглянуті в попередньому розділі, назвемо формальними змінними, оскільки вони (за виключенням змінної y_n) в загальному випадку безпосередньо не відображають сигнали на виходах пристроїв, які складають ланцюг ланок системи. Ці змінні (крім y_n) не доступні для вимірювання в натурному експерименті. Більш практичною була б система рівнянь, в якій крім, можливо, деяких формальних змінних були б присутні змінні, які описують реальні сигнали на виходах усіх фізичних пристроїв системи. Такі змінні стану системи назвемо неформальними.

Загальна методика складання системи рівнянь з неформальними змінними зводиться до наступного. Припустимо, що структурна схема автоматичної системи n-го порядку така, як показана на рис.10.4, і вона відповідає фізичній структурі системи.

Рис. 10. 4. Структурна схема автоматичної системи

Кількість ланок . Усі ланки крім і-тої першого порядку. Ланка з номером і має порядок r>1. Вихідні величини ланок – неформальні змінні стану, оскільки можливе спостереження і вимірювання цих змінних. Існує можливість скласти систему n диференціальних рівнянь першого порядку, в якій будуть присутніми k неформальних і  формальних змінних стану. Для цього достатньо скласти рівняння послідовно для кожної ланки. Якщо рівняння і-тої ланки першого порядку, то воно безпосередньо зв’язує  з . Якщо ж рівняння і-тої ланки r-го порядку (як на рис.10.4), то після зведення його до r рівнянь першого порядку одержимо зв’язок  з  не безпосередньо, а через r-1 внутрішніх формальних змінних. У такий спосіб одержимо систему n зв’язаних між собою диференціальних рівнянь першого порядку, які описують автоматичну систему, тобто представляють її математичну модель з участю k неформальних змінних стану, де k – кількість ланок системи.

Покажемо застосування цієї методики на прикладі системи, структурна схема якої приведена на рис.10.5. Це система третього порядку, яка визначається змінними y₁, y₂, y₃.

З передатної функції першої ланки можна записати, що

(T₁×s+1)×Y₁(s) = k₁[X(s)-Y₃(s)],                                   (1)

звідки одержуємо диференціальне рівняння для y₁

.                                        (2)

Рівняння (2), розв’язане відносно похідної y₁, має вигляд:

.                                      (3)

З ПФ другої ланки одержуємо:

.                                                       (4)

З ПФ третьої ланки одержуємо:

.                                                (5)

Рис. 10.5.Структурна схема системи регулювання

Об’єднавши рівняння (3), (4), (5), одержуємо систему диференціальних рівнянь

                                                                   (6)

.

Матрична форма системи (6) має вид:

                                                     (7)

 де

,   ,   ,     ,     ,    . (8)

Початкові умови для y₁, y₂, y₃ нульові, що випливає з означення передатної функції. Функція x(t) відома.

Система (6) може бути розв’язана одним з чисельних методів. Якщо x(t) =1(t), то результатом розв’язку буде перехідна характеристика не тільки для керованої величини , але і для величин y₁ і y₂, які відображають фізичні величини між пристроями системи.

Задачі

1.     Для структурної схеми системи , показаної на рис.10.6 , визначте передатні функцію Ф(s) і  Ф_e(s) відносно керуючої x(t).

Рис. 10.6. Структурна схема замкненої системи

2.     Знайдіть диференціальне рівняння системи на рис.10.6. для її помилки e(t).

3.     Знайдіть диференціальне рівняння системи на рис.10.6 для керованої дії y(t).

4.     Знайдіть диференціальне рівняння системи на рис.10.6.для керованої дії y(t) і запишіть його у вигляді системи рівнянь першого порядку.

5.     Систему рівнянь, одержану в задачі 4, запишіть у компактному (матричному) форматі . Запишіть також окремо усі матриці цієї системи.