15.1. Визначення перехідного процесу

В загальному випадку під перехідним процесом розуміють відгук y(t) системи на періодичну на інтервалі [0,¥] функцію часу x(t). Можна, наприклад, розглядати перехідний процес при дії на вході системи синусоїдального сигналу, вивчаючи функції установлення амплітуди і початкової фази вихідного сигналу, але в більшості випадків перехідний процес асоціюється з перехідною характеристикою h(t) системи, як реакцією системи на одиничний ступеневий сигнал  на її вході. Одиничний ступеневий сигнал описується функцією Хевісайда, яка має такий вид:

.                                                     (1)

При нульових початкових умовах, тобто при нульовому запасі енергії системи вільна складова перехідного процесу відсутня. Тому перехідна характеристика h(t) визначається тільки вимушеною складовою, яка дорівнює сумі погасаючої складової h_p(t) і усталеної складової h_u(t). Остання в лінійній стійкій системі подібна до вхідної дії x(t). Є декілька методів визначення перехідної характеристики.

Визначення перехідної характеристики h(t) системи з імпульсної характеристики p(t) дає універсальний метод інтегралу згортки

,                                               (2)

з якого при x(t)=1(t) одержуємо відому формулу

                                                (3)

У зв’язку з тим, що розв’язування характеристичних рівнянь високого порядку на сучасних ЕОМ не складає проблеми, досить ефективним є застосування теореми розкладання. Розглянемо застосування цієї теореми для системи  n-го порядку з передатною функцією виду

,                                                            (4)

де B(s) і A(s) – многочлени відповідно чисельника і знаменника ПФ системи. Зображення вхідної дії x(t)=1(t) дорівнює X(s)=1/s, тому зображення H(s)перехідної характеристики дорівнює

.                                                  (5)

Згідно з теоремою розкладання перехідну характеристику знаходимо з виразу

,                                                (4)

де s₀, s_1, s_2, …, s_n- корені знаменника зображення перехідної характеристики, перший з яких s₀=0. Якщо в загальному виразі (4) теореми розкладання знаменник D(s) замінити добутком sּA(s), де A(s) – характеристичний многочлен системи, то вираз для h(t) знайдемо в такому вигляді:

,          (5)

де s_1, s_2, …, s_n- полюси передатної функції системи або, що теж саме, корені характеристичного рівняння системи. Вираз (5) представляє перехідну характеристику h(t) як суму двох складових: усталеної складової

                                                   (6)

і погасаючої складової

                               (7)

Перехідну характеристику можна також визначити за допомогою таблиць перетворення Лапласа, представивши попередньо її зображення у вигляді суми простих дробів. В теоремі розкладання теж застосований (але неявно) метод розкладання на суму простих дробів.

Перехідну характеристику можна розрахувати декількома іншими методами, зокрема, розв’язуванням диференціального рівняння системи чисельним методом, розв’язуванням різницевого рівняння цифрової моделі системи та іншими. Усі методи розрахунку перехідної характеристики можна реалізувати за допомогою математичних програм (наприклад, програми MathCad) на ЕОМ.