Конспект ТАУ

14.3.Усталена помилка при дії з постійною швидкістю зміни

Дію з постійною швидкістю зміни, показану на рис.14.2, можна описати лінійною функцією

x(t)= x₀+v×t, t≥0, (1)

зображенням якої є

. (2)

Можна стверджувати, що усталена вихідна величина y_u(t) лінійної системи змінюється по такому закону, як і вхідна дія, тобто, y_u(t)= y₀+v_yt, оскільки окреме вимушене рішення диференціального рівняння лінійної системи знаходять в такому ж загальному вигляді, який має вхідна дія. Покажемо, що в не астатичній системі v_y≠v, в результаті чого має місце накопичення помилки e(t), яка при t→ ∞ буде нескінченною.

Дійсно, зображення помилки в позиційній (не астатичній) системі матиме вигляд

, (3)

а усталена помилка дорівнюватиме

(4)

Графік вихідної величини y(t) з помилкою ε_u, яка росте до нескінченності, показаний на рис.14.2 пунктиром.

В астатичній системі першого порядку зображення помилки має вигляд

, (5)

тому усталена помилка

. (6)

Як бачимо, в астатичній системі статична помилка ε₀=0. Помилка e_v, обумовлена швидкістю v зміни вхідної дії дорівнює . Графік вихідної величини y(t) з постійною помилкою ε_u=e_v показаний на рис.14.2 суцільною лінією. Цю помилку називають швидкісною. В системі з астатизмом при збільшенні величини k швидкісна помилка зменшується.

Pис.14.2. Помилки в астатичній і неастатичній системах

Можна показати, що при поліноміальній вхідній дії n-го ступеню

x(t)=x₀+x₁t+x₂t²+…+x_ntⁿ (7)

в системі з астатизмом n-го порядку устелена помилка буде постійною величиною

. (8)

Це означає, що при дії з постійним прискоренням a

x(t)=x₀+v t+a t² (9)

в системі з астатизмом другого порядку помилка буде мати величину

. (10)

Содержание