12.2. Необхідна умова стійкості і особливості розв’язку характеристичного рівняння.

Для детального дослідження стійкості автоматичної системи потрібно розв’язати її характеристичне рівняння

.                                      (1)

Для систем з алгебраїчним характеристичним рівнянням існує необхідна, але недостатня умова стійкості, яка вимагає додатності усіх коефіцієнтів рівняння при a₀>0 (або від’ємності при a₀<0). В подальшому будемо вважати усі коефіцієнти додатними. Зазначена умова стійкості випливає з того, що рівняння (1) можна представити добутком простих множників (s-s_i), де s_i – корені рівняння:

                                      (2)

Якщо усі корені s_i  дійсні, то при a₀>0 усі коефіцієнти рівняння (2) (після перемноження) будуть додатними тільки якщо усі дійсні корені s_i  від’ємні. Але якщо коефіцієнти рівняння мають різні знаки, то зразу можна сказати, що система нестійка, бо вона має корені в правій півплощині. Тому при дійсних коренях характеристичного рівняння умова додатності коефіцієнтів не тільки необхідна, але і достатня для стійкості системи.

Інша ситуація має місце при наявності комплексних коренів. Якщо рівняння (1) має комплексні корені, то кожна комплексно-спряжена пара a ± jbтаких коренів дасть такий вклад в рівняння

,                           (3)

в якому коефіцієнт -2a буде від’ємним при a>0. Якщо розглядається система другого порядку, то з (3) випливає, що додатність коефіцієнтів однозначно виключає розміщення комплексних коренів в правій півплощині, тобто, коренів з a>0. На жаль, цього не можна сказати для систем більш високого порядку. Дійсно, навіть для системи третього порядку з парою комплексних коренів знаки коефіцієнтів характеристичного рівняння

  (4)

можуть бути додатними при a>0. Як видно з (4) все залежить від співвідношення між величиною дійсного кореня s₁ і складовими a і b комплексних коренів. Для систем вищого порядку ситуація ще складніша. Тому, дійсно, додатність усіх коефіцієнтів рівняння є тільки необхідною умовою стійкості.

Для розв’язування характеристичного рівняння корисними є декілька положень з теорії алгебраїчних рівнянь [14]:

1.     рівняння степеню n має n коренів;

2.     комплексні корені входять в список коренів парами, тобто кореню a+jb відповідає корінь a-jb;

3.     рівняння непарного степеню має один або більше дійсних коренів;

4.     усі корені рівняння лежать на комплексній площині в межах круга радіусом R=a_m/|a₀|, де a_m – найбільший з коефіцієнтів |a₁|, |a₂|, …,|a_n| характеристичного рівняння, a₀ – коефіцієнт при sⁿ.