12.3. Критерій стійкості Рауса

Англійський математик Раус запропонував свій критерій ще в 1877 році [2]. Можливо це був перший критерій стійкості в теорії автоматичного керування. Як і інші критерії алгебраїчний критерій Рауса виявляє необхідні і достатні умови стійкості без рішення характеристичного рівняння системи

,                                  (1)

в якому знаки усіх коефіцієнтів однакові. В подальшому будемо вважати усі коефіцієнти додатними. Тоді критерій Рауса можна сформулювати так: для стійкості лінійної системи з характеристичним рівнянням (1), усі коефіцієнти якого додатні, необхідно і достатньо, щоб додатними були усі елементи першого стовпця таблиці Рауса.

Складають таблицю так. В перший рядок записують парні коефіцієнти характеристичного многочлена, а в другий – непарні. Останнім елементом другого рядка буде 0, якщо n число парне. Елементи третього і наступного рядків визначають за формулами:

                           (2)

 де [x] - ціла частина x,

       i – номер рядка таблиці Рауса,

       j – номер стовпця.

Таблиця Рауса має такий загальний вид:

                                             (3)

Критерій Рауса дає можливість визначити кількість коренів нестійкої системи, розміщених в правій півплощині. Кількість таких коренів дорівнює числу змін знаків елементів першого стовпця таблиці Рауса.

Критерій Рауса став досить популярним в останні десятиліття, оскільки він виявився досить зручним для дослідження стійкості системи на ЕОМ. Цей критерій також досить зручний для побудови на ЕОМ області стійкості системи на площині двох (p₁, p₂) або в просторі трьох (p₁, p₂, p₃) її параметрів, оскільки коефіцієнти a_i, i =0, 1, 2,…, n виражаються через фізичні параметри р системи (коефіцієнти підсилення і постійні часу ланок).