12.1. Означення, умови, границі і запаси стійкості

Стійкість автоматичної системи є головною умовою її дієздатності. Під стійкістю лінійної системи розуміють властивість погасання до нуля імпульсної характеристики або погасаючої складової перехідного процесу. Це можна записати так:

p(t)®0  при  t ® ¥,   h_p (t)®0  при  t ® ¥.                         (1)

Оскільки функції p(t) і h_p(t) визначаються коренями характеристичного рівняння системи, то властивість (1) має місце тільки в тому випадку, коли усі дійсні корені характеристичного рівняння від’ємні і усі дійсні частини комплексних коренів теж від’ємні. Іншими словами, автоматична система стійка тільки в тому випадку, коли усі корені s_i (i=1,2,…,n) її характеристичного рівняння

,                        (2)

лежать в лівій півплощині комплексної площини змінної s=a+jb. Ці твердження і міркування проілюстровані на рис 12.1 і 12.2.

Рис. 12.1. Складова перехідного процесу, обумовлена дійсним коренем

Рис. 12.2. Складова перехідного процесу, обумовлена комплексним коренем

Вісь jb комплексної площини (a,jb) можливих значень коренів s_i характеристичного рівняння системи лежить на границі між лівою і правою півплощинами, тобто є границею області стійкості. Відстань від границі до найближчого до неї дійсного від’ємного кореня, який створює погасаючу аперіодичну компоненту перехідного процесу, називають аперіодичним запасом стійкості, а відстань від границі до найближчого комплексного кореня з від’ємною дійсною частиною, який створює погасаючу коливальну складову перехідного процесу, називають коливальним запасом стійкості (рис 12.3).

Рис. 12.3. Кореневі запаси стійкості

При дослідженні стійкості системи визначають умови, при яких в розв’язку характеристичного рівняння можуть появитись граничні значення коренів. Такі умови прийнято називати границями стійкості системи. При наявності нульового кореня s_i = 0 границю стійкості називають аперіодичною. При наявності пари комплексних коренів s_j,j+1 з нульовим значенням дійсної частини, тобто наявності пари чисто уявних коренів s_j, j+1 = ± jω границю стійкості називають коливальною.

Теоретично можна розглядати також третю границю стійкості [1], яку називають нескінченною, тому що вона має місце при наявності в системі кореня s_k = ¥. Однак такий корінь може мати місце в системі n-го порядку тільки коли коефіцієнт a₀ при sⁿ дорівнює нулю. Дійсно, якщо рівняння (1) розділити на sⁿ, то одержимо рівняння

,                             (3)

яке задовольняється при s= ¥ тільки якщо a₀=0. Аналіз нескінченної границі зводиться до вияснення умови, при якій a₀=0. Умова, яка призводить доa₀=0 , це умова перетворення системи n-го порядку в систему (n-1)-го порядку, тобто в іншу систему, яка можливо не виконує функції заданої системиn-го порядку  і стан стійкості якої потребує додаткового аналізу.

Оскільки основні питання стійкості вирішуються через корені характеристичного рівняння, познайомимось з деякими особливостями характеристичного рівняння, пов’язаними з умовами стійкості і, зокрема, з особливостями його розв’язку.