Преобразование Лапласа часто используемых дискретных функций

1. Изображение дельта-функции

.

Применив теорему о среднем (или учитывая свойство (3.3)) и соотношение (3.1), получим

. (3.9)

2. Изображение дельта-функции ,смещенной наi тактов, т.е. существующей для момента времени:

.

После замены переменной с учетом соотношений (3.3) и (3.9) имеем

(3.10)

или, используя введенное ранее обозначение , получимZ-изображение дельта-функции, смещенной наi тактов:

,. (3.11)

3. Изображение идеальной решетчатой функции:

.

Таким образом, с учетом обозначений (3.8) и (3.11) имеем

, (3.12)

. (3.13)

4. Изображение дискретного единичного скачка :

Дискретный единичный скачок – это частный случай для идеальной решетчатой функции, когда все выборочные значения равны единице (рис. 3.1). Следовательно, в соответствии с выражением (3.13) его изображение представляется в виде ряда

При выполнении условия этот ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Начальный член еёb₀= 1, знаменательq = z^-1. Искомое изображение есть суммачленов этой прогрессии

. (3.14)

5. Изображение дискретной показательной функции:

. (3.15)

Согласно выражению (3.12) изображение функции имеет вид. Изображениесуществует, если полученный ряд сходится. После введения обозначенияи перехода кZ-изображению вычисляется сумма ряда (b₀= 1,q = d z^–1)

. (3.16)

6. Изображение дискретной показательной функции с комплексным показателем

Пусть показатель – aв выражении (3.15) является комплексным.

Тогда функция x(t) и коэффициентdв выражении (3.16) представляются в виде

.

Подставляя полученное выражение для коэффициента dв формулу (3.16) после некоторых преобразований получим

.

Следовательно,

,

. (3.17)

В приложении представлена таблица преобразований Лапласа и Z-преобразований наиболее часто встречающихся функций.