3.1.1.Дельта-функция и её свойства

Для описания дискретных функций широко используется класс импульсных функций, основанный на использовании дельта-функции и её производных. С точки зрения определений, вводимых в математическом анализе, дельта-функции собственно функциями не являются. Это особый класс обобщенных функций и для них разработаны специальные операции. Но для практических приложений в теории автоматического управления важны только интегральные свойства этих функций и в этой области к нимформальноприменимы обычные операции.

Дельта-функция – это функция, равная нулю для всех моментов времени, кроме момента, обращающего в нуль выражение в её круглых скобках (в рассматриваемом случае – приt= 0).Основное свойствоеё заключаетсяв равенстве единице площади, заключенной между этой функцией и осью времени 0t. Следовательно, равен единице интеграл от неё, распространенный на сколь угодно малый отрезок времени существования функции

(3.1)

Для того чтобы выполнить условие (3.1) на бесконечно малом интервале времени, амплитуда дельта-функции при t= 0 должна быть бесконечно большой. Несмотря на это противоречиедельтафункция служит хорошей математическоймоделью идеального бесконечно короткого импульсас единичной амплитудой.

К другим свойствам дельта-функции относятся:

• часто встречающееся требование, чтобы эта функция была четной

(3.2)

• для любой функции φ(t) и любого числаt₀,a <t₀<b,

(3.3)

Это условие может рассматриваться как реализация фильтрующего свойства дельта-функции;

• для любой дифференцируемой nраз функции φ(t) справедливо соотношение

(3.4)

• единичная функция 1(t) есть интеграл от дельта-функции

(3.5)

Следовательно, дельта-функция есть производная от единичной функции (единичного скачка)

. (3.6)