Импульсная переходная характеристика

Согласно выражению (2.25) импульсная переходная характеристика определяется в результате применения обратного преобразования Лапласа к передаточной функции звена

.

Для того чтобы воспользоваться таблицами преобразования Лапласа (см. приложение), передаточную функцию (2.38) необходимо преобразовать так, чтобы её вид совпадал с аналогичными данными таблицы преобразования.

, то

Следовательно,

. (2.40)

Переходная характеристика (k = 1)

Вывод формулы для переходной характеристики будет продемонстрирован с помощью классического метода. В соответствии с передаточной функцией (2.38) дифференциальное уравнение для переходной характеристики при (k= 1) имеет вид

,t > +0. (2.41)

Общее решение неоднородного уравнения (2.41) представляется суммой общего решения однородного уравнения (с учетом комплексно-сопряженных корней (2.39)) и частного решения, определяемого выражением в правой части уравнения (2.41). Общее решение характеризует переходный процесс h_пер(t), частное решение – процесс в установившемся режиме работы системыh_уст(t).

+h_уст(t). (2.42)

Для определения h_уст(t) и постоянных интегрированияA и ψ можно воспользоваться теоремами о начальном и конечном значениях преобразования Лапласа с учетом формулы (2.26).

, (2.43)

Интегрируя уравнение (2.42), используя полученные в (2.43) значения начальных условий, определяют формулы для вычисления постоянных интегрирования

,

На рис. 2.11 приведены графические изображения временных характеристик колебательного звена.

Анализ этих графиков позволяет сделать следующие выводы (обоснование их будет приведено ниже при изучении показателей качества САУ).

1. Колебательность звена в первую очередь зависит от коэффициента демпфирования ξ. Чем он меньше, тем в большей степени звено обладает колебательными свойствами.

2. Звено устойчиво, поскольку вещественная часть корней характеристического уравнения (2.39) отрицательна, и функция в пределе равна нулю.

3. Величина α вещественной части комплексно-сопряженных корней (2.39) определяет быстродействие системы (время переходного процесса).

4. Мнимая часть β комплексно-сопряженных корней (2.39) является частотой колебаний временных характеристик (см., например, (2.42)). Период колебаний равен .

5. Момент времени первого максимума переходной характеристики равен половине периода колебаний t₁=T_кол/2.

На рис. 2.12 представлено семейство переходных характеристик для демонстрации влияния коэффициента демпфирования ξ на вид переходных характеристик колебательного звена.