2.6.3.Критерий Михайлова

Итак, расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости несёт полную информацию об устойчивости системы. Проблема заключается в том, что сложно или невозможно решить аналитическиалгебраическое уравнениеn-го порядка. Поэтому разработаны методы, позволяющие, не решаяхарактеристического уравнения по косвенным признакам судить об устойчивости. Эти методы называются критериями устойчивости. Ниже будут рассмотрены двачастотныхкритерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста.

Пусть s₁,s₂,…,s_n– корни характеристического уравнения системы, из нихl неустойчивых корней, а оставшиеся (n - l) корней устойчивые. Воспользовавшись теоремой Виета, представим характеристическое уравнение в виде

(2.56)

Подставляя в это уравнение вместо текущей переменной sеё мнимое значение s=jω, сформируем комплексный вектор (вектор Михайлова)

(2.57)

и найдем изменение фазы этого вектора ϕ_Aпри изменении частоты. Но векторпредставляется в (2.57) как произведение векторов разностей, следовательно, изменение фазыϕ_Aравно сумме изменений фазы этих векторов. По изображению векторов разностейна комплексной плоскости можно сделать следующие заключения:

• все вектора разностей , лежащие в левой полуплоскости (соответствуютn – lустойчивымкорням характеристического уравнения), при изменении частоты ω в диапазонеповорачиваются против часовой стрелки на угол, равный + 180˚;

• все вектора разностей , лежащие в правой полуплоскости (соответствуютl неустойчивым корням характеристического уравнения), при изменении частоты ω в диапазонеповорачиваются по часовой стрелке на угол, равный - 180˚.

Таким образом, суммарное изменение фазы равно

.

Однако частотные характеристики симметричныотносительно точки ω = 0. Поэтому изменение фазы вектора, называемое в дальнейшемдействительным, определяют при изменении частоты ω только в диапазоне _{(вторую половину этой характеристики можно восстановить)}

. (2.58)

Для того, чтобы система была устойчива в замкнутом состоянии (l = 0),требуемое значение изменения фазы векторадолжно быть равным

. (2.59)

Поскольку анализ устойчивости системы проводится в условиях, когда неизвестны значения корней характеристического уравнения, то для определениянужно построить годограф вектора(годограф Михайлова) на комплексной плоскости и по чертежу найти значение.

Итак:

• для того чтобы системав замкнутом состоянии былаустойчивой, необходимо, чтобы были равны действительное и требуемое изменения фазы:

=. (2.60)

Это означает, что годограф Михайлова в положительном направлении (против часовой стрелки) должен обойти nквадрантов, т. е. повернуться на угол, равный;

• система не является устойчивой, если действительное изменение фазы меньше требуемого

<. (2.61)

В этом случае нарушается последовательность обхода квадрантов.

• если при ω = 0 годограф Михайлова выходит из начала координат, то система находится на апериодической границе устойчивости,

• если на некоторой частоте годограф Михайлова проходит через начало координат, то система находится на колебательной границе устойчивости.

Пример 2.3

Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии имеет вид

Требуется провести анализ устойчивости системы, используя критерий Михайлова.

Этапы решения поставленной задачи:

1. Записывается передаточная функция системы в замкнутом состоянии (см. формулы (2.47), (2.50))

2. Знаменатель этой передаточной функции является характеристическим полиномом системы в замкнутом состоянии

3. Подстановкой s = jω формируется комплексный коэффициент передачи вектора A(jω) (полином Михайлова)

4. Приравниванивая нулю его вещественную и мнимую части, вычисляются значения корней полученных уравнений. Отрицательные значения частот отбрасываются, поскольку принят их диапазон изменения, равным .

5. Полученные данные заносятся в табл. 2.3. Значения частот в ней располагают в порядке возрастания.