2.6.2. Анализ устойчивости системы по расположению корней характеристического уравнения

В разделе 2.1 отмечалось, что характер изменения импульсно-переходной характеристики системы (и её производных) зависит исключительно от вида корней характеристического уравнения системы (2.12). Расположение корней на комплексной плоскости обеспечивает наглядное представление о влиянии их на вид функции g = g(t).

В дальнейшем рассматривается влияние только некратных корней. Это возможно, если обеспечены условия, при которых система устойчива с некоторым запасом.

Итак, возможны следующие варианты решения характеристического уравнения.

1. Все корни s_i < 0,i= 1, 2, … ,n,вещественные и отрицательные (рис. 2.21), следовательно, все суммируемые экспоненты импульсной переходной характеристикиg=g(t) в формуле (2.21) – убывающие функции времени и их сумма в пределе равна нулюСистема являетсяустойчивой асимптотически.

2. Один корень (s₁ > 0) –вещественный и положительный, остальные корниs_i < 0 ,i= 2, 3, … ,n– вещественные и отрицательные. Эта единственная экспонента с положительным показателем с течением времени возрастает и потому суммарная функцияg=g(t) есть возрастающая функция времени (см. рис. 2.22).Система неустойчивая.

3. Пара комплексно-сопряженных корней имеет отрицательную вещественную часть ,> 0. Остальные корни s_i < 0 ,i= 3, 4, …,n вещественные и отрицательные (рис. 2.23).

При изучении импульсной переходной характеристики колебательного звена было показано, что комплексно-сопряженным корням с отрицательной вещественной частью (см. формулу (2.39)) соответствует затухающийколебательный процесс (см. рис. 2.11). С учетом сказанного в пункте 1 модуль суммарной функции g = g(t) с увеличением времени уменьшается и в пределе равен нулю.Система асимптотически устойчивая.

4. Пара комплексно-сопряженных корней ,> 0 имеет положительную вещественную часть.Остальные корниs_i < 0,i= 3, 4, … ,nвещественные и отрицательные. Этой паре комплексно-сопряженных корней соответствует незатухающий колебательный процесс и, следовательно,g=g(t) – возрастающая функция времени (рис. 2.24).Система неустойчивая.

Таким образом, справедливы следующие положения:

• Система устойчива, если все корни её характеристического уравнения имеютотрицательные вещественные части, т.е. находятся в левой полуплоскости комплексной плоскости.Мнимая оськомплексной плоскостиявляется границей устойчивости.

• Система неустойчива, еслихотя бы один из корнейхарактеристического уравненияимеет положительную вещественную часть.

• Система находится на апериодической границе устойчивости, если устойчивы все корни её характеристического уравнения, а один вещественный корень равен нулю.

• Система находится на колебательной границе устойчивости, если устойчивы все корни её характеристического уравнения, а пара комплексно-сопряженных корней имеет нулевую вещественную часть.