3.3.2.Билинейное илиW-преобразование

Билинейное преобразование позволяет в ряде случаев применить для анализа системы с прерывистым режимом работы методы, разработанные ранее для исследования аналоговых систем. В частности, билинейное преобразование позволяет отобразить окружность единичного радиуса Z-плоскости на мнимую ось комплексной плоскости переменнойw (W-плоскости, рис. 3.3) и использовать критерий Найквиста и все связанные с ним методы анализа систем. Используются подстановки в прямом и обратном билинейных преобразованиях, соответственно

. (3.37)

Действительно, пусть комплексные переменные zиw представляются в виде.

Подставляя переменную z в выражение дляw(см. подстановки (3.37)), после некоторых преобразований получим формулы для вещественных характеристик переменнойw

, (3.38)

позволяющие сформулировать условия устойчивости системы, используя для её описания переменную w.

1. Как было отмечено выше, система находится на границе устойчивости, еслиравны единице модулиодного вещественного корня или пары комплексно-сопряженных корней при устойчивых всех остальных корнях. Но тогда равен нулю числитель в формуле для α в выражении (3.38), т.е.равна нулю вещественная частькомплексной переменнойw (α = 0) и данный корень находится на границе устойчивости. Это может служить доказательством, что на комплекснойW-плоскостидля корней характеристического уравнения системы с прерывистым режимом работы границейустойчивости является мнимая ось.

2. Система устойчива, есливсе корниw_jхарактеристического уравненияимеют отрицательные вещественные части(все корни находятся в левой полуплоскости наW-плоскости на рис. 3.3).

.

3. Система неустойчива, еслихотя бы один из корней имеет положительнуювещественную часть(корень находится в правой полуплоскости наW-плоскости).

Доказывается, что для анализа устойчивости систем, описываемых W-передаточными функциями,может использоваться критерииустойчивости Найквиста.

Итак, пусть система, заданная передаточной функцией W(w) в разомкнутом состоянии, устойчива. Для того чтобы в соответствии с критерием Найквиста эта система в замкнутом состоянии была устойчивой, еёамплитудно-фазовая характеристика(АФХ) в разомкнутом состояниине должна охватывать точку (-1; 0)на комплекснойW-плоскости.