Общий случай критерия Найквиста

Система с единичной обратной связью (см. рис. 2.16) задана передаточной функцией в разомкнутом состоянии. Приравняв нулю полином знаменателя, получим характеристическое уравнение системы в разомкнутом состоянииПусть в общем случае числонеустойчивых корней этого уравнения равноl_С, а оставшиесяn -l_С– устойчивые корни. Тогда в соответствии с критерием Михайлова изменение фазы вектораC(jω) равно.

Система в замкнутом состоянии должна быть устойчивой, следовательно, должны быть устойчивыми все корни характеристического уравнения системы в замкнутом состоянииA(s) = 0 изменение фазы вектораA(jω) по критерию Михайлова согласно формуле (2.60) равно произведению.

Вводится вспомогательная переменная F(s).

F(s) = 1 +W(s) = 1 +=. (2.62)

Формула (2.62) показывает, что эта переменная F(s) равнаотношению характеристических полиномовсистемы в замкнутом и разомкнутом состояниях (полиномы знаменателей передаточных функцийW_з(s) иW(s)).

Применение критерия Михайлова позволяет определить изменение фазы вектора F(jω)

. (2.63)

Таким образом,

• для того чтобы система в замкнутом состоянии былаустойчивой, необходимо выполнение условия

; (2.64)

• система в замкнутом состоянии неустойчива, если

. (2.65)

Пример 2.4

Система задана своей передаточной функцией в разомкнутомсостоянии

. (2.66)

Требуется определить, устойчива ли эта система в замкнутом состоянии.

Для решения этого вопроса следует применить критерий Найквиста в следующей последовательности:

1. Определить число неустойчивых корней характеристического уравнениясистемы в разомкнутом состоянии. Приравнивая нулю знаменатель передаточной функции (2.66), получаем характеристическое уравнение системы в разомкнутом состоянии и его корни

C(s) =s(1 –sT);s₁= 0,s₂= +1/T.

Первый корень s₁, соответствующий интегрирующему звену, является нулевым, второй – неустойчивыйs₂ > 0.

Как отмечалось в разделе 2.4.6, нулевой корень s= 0 интегрирующего звена считаютусловно устойчивым. Таким образом, рассматриваемая система вразомкнутомсостоянии имеет один неустойчивый корньl_С = 1.

2. Определить требуемое значение изменения фазывспомогательного вектораF(jω). В соответствии с соотношением (2.63) имеем

3. Построить АФХ системы в разомкнутом состоянии. Комплексный коэффициент передачи имеет вид

В табл. 2.4 отражена зависимость от частоты ω значений вещественной и мнимой частей комплексного коэффициента передачи, а на рис. 2.26 – график АФХ, построенный по этим данным. Поскольку передаточная функция (2.66) содержит интегрирующее звено, то график дополнен дугой бесконечно большого радиуса.

4. В соответствии с построенным графиком АФХ определяется действительное значение изменения фазывектораF(jω). ВекторF(jω) проводится из точки с координатами (-1, 0) в текущую точку с частотой ω. Фаза φ(ω)–это угол, отсчитываемый от положительной вещественной оси до вектораF(jω). При увеличении частоты ω от нуля до ∞бесконечности фаза сначала уменьшается до величины, близкой к - 90°, а потом увеличивается до нуля при(см. рис. 2.26). Таким образом,

5. Заключение об устойчивости. Поскольку в рассматриваемом случае, то согласно условию (2.65)система в замкнутом состоянии неустойчива.

Пример 2.5

Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии имеет вид .

Эта передаточная функция имеет противоположный знак по сравнению с передаточной функцией предыдущего примера 2.4. Поэтому число неустойчивых корней рассматриваемой передаточной функции, как и в примере 2.4, равно единице (). Следовательно,

.

АФХ данной системы можно получить, повернув АФХ примера 2.4 (рис. 2.27) на угол 180°. В соответствии с рис. 2.27 при изменении частоты ω от 0 до ∞ вектор F(jω) поворачивается по часовой стрелке на отрицательный угол, равный - 180° иСледовательно,и согласно условию (2.65)система в замкнутом состоянии неустойчива.