2.5.2 Складання дискретних рівнянь лінійних систем

Методику складання дискретних рівнянь розглянемо відносно умови функціонування дискретних систем автоматичного управління. Замкнення системи виконується тільки у моменти роботи ідеального імпульсного моменту, тобто у моменти квантування , а у проміжках між моментами квантування система працює як розімкнена при сталому впливі - сигналі, який зберігається на виході формуючої частини імпульсного елементу.

Хай у дискретній системі імпульсний елемент генерує послідовності імпульсів прямокутної форми з періодом та тривалістю , а лінійна частина описується оператором (Рис.2.82).

Рис.2.82

Вихідний процес , який протікає усередині будь-якого інтервалу дискретності

має вигляд

(2.142)

де _.

Кінцеве значення на -тому інтервалі, а отже і початкове значення на інтервалі приймає вигляд

Якщо неперервна частина дискретної системи має -тий порядок, то для визначення рішення необхідно розглядати процес у n попередніх інтервалах дискретності, що зведе рішення до вигляду

(2.143)

Хай лінійна частина дискретної системи має передаточну функцію ,

а імпульсний елемент генерує послідовність імпульсів прямокутної форми з періодом та скважністю . Визначимо рішення диференційного рівняння системи у межах одного циклу квантування , який складається із двох рішень на інтервалах та , тобто як рішення рівнянь та .

Рішення на першому інтервалі буде

Постійна інтегрування отримується з урахуванням початкових умов для моменту _.

,

Отже, _.

На другому інтервалі

Тому що значення на початку інтервалу, тобто при дорівнює значенню на кінці першого інтервалу, то

Отже,

При одержуємо

З умови замкнення системи маємо а якщо система замикається одиничним зворотнім зв'язком, то

Отже,

що після перетворень дає

Якщо , то

Тому що , то при , , a _.Із характеристичне рівняння приймає вигляд .Отже,

При , тобто . Таким чином

Хай , тоді .

Якщо , то процес встановлюється за один крок, система стійка і має найменший час перехідного процесу .

1) При, , що дає коливальний перехідний процес.

2) При процес буде монотонним.

3) При система на межі стійкості.

4) При система стає нестійкою.

Рис. 2.83 Вплив кореня на вигляд перехідних процесів