3.6.4 Визначення умов спостережливості

При побудові систем керування необхідно мати інформацію про координати стану. Ця інформація може бути здобута у результаті вимірювання координат об’єкта , яких як правило менше ніж число координат стану . В цьому випадку визначення вектора стану на основі вимірювання координат та керувань неможливо без додаткової інформації та розрахунків. Можливість визначення координат стану за даними вимірювань характеризує властивість спостережливості об’єкта .

Лінійний динамічний об’єкт з вихідною змінною називається спостережливим, якщо довільний стан можна визначити маючи кінцевий набір вихідних змінних , , , …, .

Хай об’єкт описується векторно-матричними дискретними рівняннями у вигляді

.

Тоді на кроці

на

на

– матриця спостережливості (3.69)

Таким чином, якщо всі вектора вхідних впливів відомі, то для однозначного визначення невідомих, які утворюють вектор стану , достатньо взяти рівнянь Система рівнянь розв’язується при виконанні умов .

Якщо розглядати загальний розв’язок рівнянь стану (7.1) об’єкта, то можна визначити що об’єкт є повністю спостережливий тільки у тому випадку коли є лінійна незалежність стовпців матриці або лінійна незалежність строк матриці .

Лінійна стаціонарна система є повністю спостережливою тільки у тому випадку, якщо матриця

(3.70)

є невиродженою .

Лінійна стаціонарна система є повністю спостережливою якщо стовбці матриці

, (3.71)

де та відповідно розмірність векторів та , лінійно незалежні.

У задачах керованості та спостережливості має місце принцип подвійності : для будь – якої задачі керованості можна побудувати таку задачу спостереження що її розв’язок буде і розв’язком керованості .

Отже щоб оцінити властивість спостереження об’єкта можна оцінити властивість керованості для подвійного об’єкта . Якщо рівняння стану об’єкта має вигляд

, (3.72)

то для подвійного об’єкта рівняння стану будуть

, (3.73)

Система повністю спостережлива тоді коли подвійна її система повністю керована; система повністю керована коли подвійна спостережлива .

Якщо для (7.11) матриці керованості та спостережливості відповідно мають вигляд

, (3.74)

то для (7.12) вони мають вигляд

(3.75)

Тобто система повністю спостережлива тоді, коли подвійна її система повністю керована; система повністю керована, коли подвійна спостережлива .

Критерієм повної керованості та спостережливості об’єкта, що задано передаточною функція

,

є відсутність однакових коренів у поліномах та , тобто відсутність компенсації полюсів передаточної функції її нулями .

Нехай система описується рівняннями

.

Тому що

є виродженою то пара некерована .

Також

має залежні строки, то система некерована.

Відомо, що у цифрових системах керування завжди присутня операція квантування у часі. Тому умови керованості та спостережливості можуть залежати від періоду квантування

Тоді для керованості треба, щоб матриця

,

де , мала ранг .

Якщо для деякого періоду квантування при , то система буде одночасно некерованою та неспостережливою .

На керованість системи також буде впливати і кінцева розрядність слова у мікропроцесорі, тому що значення сигналів будуть скорочені та округлені. Однак, якщо рівні квантування будуть малими, то проблема квантування не стоїть так строго .

П 3.23

Для умов задачі П 3.21 визначити умови спостережливості

Умови задовольняються