1.3.7 Основнi властивостi дискретного перетворення Лапласу

1. Теорема зсуву.

Хай

Визначимо зображення функцiї, у якої є зсув на тактiв, тобто

.

Виконаємо замiну та .

Тоді

Якщо при дорiвнює нулю

,

то

(1.62)

Аналогiчно доказується що

(1.63)

2. Зображення рiзниць.

3. Кiнцеве значення дискретної функцiї.

Тому що

То

Отже, .

Дискретне перетворення Фур’є здобувається при замiнi , тобто

Знайдемо зв'язок мiж зображенням Фур’є дискретної функцiї iз зображенням Фур’є неперервної функцiї . Тому що , а послiдовнiсть можна розкласти у ряд Фур’є як перiодичну з перiодом

,

де

то зображення Фур’є (частотний спектр) кожного члену суми буде мати вигляд

що з урахуванням теореми зсуву дає , де є приведеним комплексним коефіцієнтом передачі, тобто .

Таким чином для , тобто частотний спектр першого члена суми представляє собою частотний спектр корисного модулюючого неперервного сигналу.

Якщо , то

тобто частотний спектр другого члена суми представляє собою частотний спектр модулюючої функцiї, але яка має зсув по осi часу на величину .

Таким чином, для всiєї дискретної послiдовностi

(1.64)

тобто пропорцiйний сумi спектрiв, якi мають сталий зсув .

При опису сигналiв було встановлено, що для вiдтворення неперервного сигналу iз дискретної послiдовностi повинна виконуватись умова де при якій частотнi спектри не перекриваються (Рис1.78).

Рис. 1.78 Спектри, що не перекриваються

Таким чином, очевидно, що спектр у загальному випадку у не співпадає з .

i тiльки у випадку

Отже, перетворення Лапласа дискретної функцiї часу є перiодичною функцiєю з частотою повторення

(1.65)

тому що для цiлих та витiкає .

З цього слiдує, що для будь якої даної точки на -площинi комплексної зміїної функцiя має однаковi значення для всiх перiодичних точок , а вся лiва півплощина -площини розбивається на смуги, ширина яких дорiвнює (1.79).

Рис. 1.79 Основна полоса в межах

Смуга в межах називається основною смугою.

Отже, якщо , то основна смуга розширюється до всiєї площини . При цьому дискретна система перетворюється у неперервну, тобто .

П 1.12

Визначити частотний спектр

1.3.8 Z - перетворення

Вiдомо, що функцiя може бути представлена у дискретній формi як послiдовнiсть iмпульсiв у моменти часу ; при цьому площина кожного iмпульсу дорiвнює значенню функцiї у вiдповiднi моменти часу.

Перетворення Лапласу такої функцiї має вигляд

показує, що є нескiнченний ряд по

Однак така форма виключає можливе використання звичайних методiв аналiзу у площинi , бо змiнна входить у цей вираз нераціонально.

Якщо зробити пiдстановку , тобто

(1.66)

то при цьому виконується перехiд до iншої змiнної , тобто до так званого -перетворення.

( 1.67)

Метод -перетворень був запропоновано у 1730 р. Де Муавром. Пiзнiше у 1812р. Лаплас поширив на теорiю ймовiрностей. Метод -перетворень є одним iз засобiв дослiдження дискретних систем у часовій та частотній областях.

Якщо розглянути послiдовнiсть i використати дискретне перетворення Лапласу та перейти до - перетворення , то можна побачити, що значення є коефіцієнтами при вiдповiдних розкладання у ряд по степеням виразу . При цьому очевидний зв'язок мiж - перетворенням та дискретними рiвняннями.

Таким чином, якщо функцiю задано у виглядi то задача знаходження оригіналу заключається у розкладеннi у ряд по степеням . При цьому коефiцiєнти при відповідних членах з відповідною степінню дозволяє зробити різницеві рiвняння.

Отже, , де коефiцiєнти визначають дискретнi значення послiдовностi

Треба визначити, що перетворення відповідає умовам однозначностi.

Однак зворотне -перетворення неоднозначне, тому що функцiя у промiжках мiж моментами квантування не визначена.

Якщо для функцiї аргументу є перетворення Лапласу та - перетворення вiдповiдно визначенi як

(1.68)

Вiдомо, що зворотне перетворення Лапласу має вигляд

де - абсциса збігання, яка вибирається таким чином, щоб особливі точки підiнтегральної функцiї лежали лiворуч вiд неї (Рис.1.80).

Рис. 1.80 Співвідношення та S площини

Для зворотного - перетворення є аналогiчний вираз

, (1.69)

де - замкнений контур на - площинi, який включає всi особливі точки .