Тема 2.3 Поняття стійкості систем керування.

2.3.1 Поняття стійкості систем керування зв'язано із здібністю повертатися у стан рівноваги після зникнення зовнішніх сил, які вивели її з цього стану.

Основи строгої теорії стійкості динамічних систем були розроблені А.М.Ляпуновим в 1892 році у роботі "Общая задача об устойчивости движения" ,в якій він показав, що стійкість лінійних систем не залежить від величини збудження, тобто система, стійка при малих збудженнях буде стійкою і при великих збудженнях. Тому для визначення стійкості лінійних систем достатньо визначити стійкість „у малому”, тобто знайти умови стійкості з рівняння у формі приросту у робочій точці.

Хай стан системи визначається незалежними координатами .

Заданий рух системи визначається законом зміни координат який відображає програмний, незбуджений рух системи. При дії на систему зовнішніх сил виникає відхилення дійсного руху від заданого

тобто системний рух стає збудженим.

Припустимо, що система описується звичайним диференційним рівнянням

(2.73)

та задано в області . Із безлічі траєкторій, які задовольняють систему, оберемо одну, яку позначимо через , і будемо досліджувати її стійкість. Точніше кажучи, будемо вивчати властивості траєкторії які починаються у початковий момент із стану поблизу . Якщо вони залишаються весь час поблизу , то кажуть, що система є стійкою, якщо ж вони відхиляються від , то це відповідає нестійкості руху.

Розглянемо рух відображаючої точки у мірному просторі, який утворюється змінними стану та незалежною змінною -- часом . Будемо розглядати вільний рух з деякого початкового стану та збуджений рух , який виникає внаслідок прикладання зовнішніх збуджень.

Рис. 2.21 Заданий та збуджений рух

Заданий рух буде стійким, якщо внаслідок прикладення зовнішніх сил, які потім знімаються, збуджений рух через деякий час увійде у задану область, тобто буде виконуватися умова

(2.74)

Якщо збуджений рух визначимо як , де – нові функції, які називаються збудженнями, то треба вивчати на стійкість так звану збуджену систему диференційних рівнянь

(2.75)

тобто незбуджений рух системи переходить у так зване нульове розв'язання системи.

Рис. 2.22 Нульовий рух

Якщо

(2.76)

то незбуджений рух визначається як асимптотично стійкий.

Нульовий розв'язок системи називається стійким за Ляпуновим, якщо для будь-якого при можна визначити таке число , що при будь-яких збудженнях, які задовольняють умові буде виконуватися нерівність при будь-якому

. (2.78)

Розглянемо геометричний зміст цієї умови. У просторі координат побудуємо дві сфери радіусом та . Система буде стійкою, якщо при збудженнях, які не виводять зображаючу точку за межі сфери , збуджений рух буде таким, що ,починаючи з деякого часу зображуюча точка буде у межах сфери .

Рис. 2.23 До визначення поняття стійкості руху

Траєкторія 1 визначає асимптотичну стійкість, траєкторія 2 відповідає стійкому руху, траєкторія 3 – нестійкому руху.

Висновки! Тому що у більшості випадків нульовий рух, тобто незбуджений розв'язок системи, нестійкий, тому постає задача про забезпечення стійкості таких систем за допомогою додаткового керування , яке складає разом з керуванням закон керування системою

Рис. 2.24 Забезпечення стійкості за допомогою додаткових керувань

2.3.2 Перший метод Ляпунова

Хай система описується диференційним рівнянням загального вигляду

Тому, що рівняння є неоднорідним, то його розв'язок буде складатися із двох незалежних одна від одної частин , де – загальне розв'язання однорідного диференційного рівняння , – часткове розв'язання, який визначає зміну від збуджуючого впливу.