2.7.12 Векторно-матричні моделі дискретних систем керування.

Аналiз та синтез лiнiйних систем звичайно виконується одним з двох основних методiв. Перший метод засновано на класичному пiдходу до опису систем керування з використанням перетворення Лапласу, передаточних функцiй та перетворення Фур'є. Другий метод використовує поняття стану системи.

У широкому розумiннi метод простору стану, особливо при вивченнi цифрових систем керування , має ряд переваг перед традицiйними :

1) опис у просторi стану є природним та зручним для обчислення задач на ЕОМ ;

2) дозволяє унiфiкувати опис одномiрних та багатовимiрних систем ;

3) може застосовуватись до деяких типiв нелiнiйних та нестацioнарних систем.

Виходячи з функцiональної схеми дискретної системи керування (Рис.2.186) можна стверджувати, що множина задаючих збуджень , якi утворюють вектор входу, у момент утворюють простiр входу системи. Множина керуючих величин утворюють простiр виходу, а множина , яка характеризує внутрiшнє становище системи у момент , утворюють простiр стану системи, який змiнюється пiд впливом вектору входу та залежить вiд початкового стану i параметрiв самої системи.

Рис. 2.198 Узагальнена схема системи з цифровим керуванням

Величини називаються змiнними стану системи. Стан системи визначає лiнiйну множину змiнних стану , яких достатньо для опису теперiшнього та майбутнього значення вектору виходу при визначеному векторi входу . Очевидно, що сукупнiсть утворює вектор стану системи, якщо є такi двi однозначнi функцiї та , що виконуються умови

,

Таким чином система керування може бути описана за допомогою n змiнних стану

,

якi є рiшеннями дискретних рiвнянь першого порядку

,

які називаються рiвняннями стану, та рiвняння

яке визначає рiвняння виходу.

Для лiнiйних стацiонарних систем сукупнiсть рiвнянь стану та рiвнянь виходу мають вигляд

; (2.272)

,

та визначають векторно-матричну модель системи керування.

При цьому матриця є матрицею коефiцiєнтiв розмiром ;

матриця - матриця керувань розмiром ;

матриця - матриця виходу розмiром ;

матриця - матриця обходу розмiром .

Рiвнянням векторно-матричної моделi вiдповiдає структурна схема системи керування

Рис. 2.199 Узагальнена векторна матрична модель дискретної системи

Із теорiї неперервних систем вiдомо, що загальне рiшення рiвнянь змiнних стану шукається у виглядi

(2.273)

де є перехiдною матрицею системи.

Визначимо значення функцiй у фіксовані моменти часу , коли на входi системи стоїть фiксатор нульового порядку (Рис.2.200).

Рис. 2.200 Неперервний канал з фіксатором нульового порядку

Тому що на входi фiксатора нульового порядку (ФНП) сигнал змiнюється тiльки у моменти , а мiж моментами квантування залишається сталим, то

при

при

Отже,

Хай , тодi при будемо мати:

При

тому що для ФНП при

При

Розглянемо вираз

Таким чином, якщо є перетворювач нульового порядку, то можна записати наступне рiшення рiвняння стану

,

або

, ( 2.274)

.

Цi рiвняння визначають дискретний варiант ВММ неперервної частини системи.

Отже, для дискретних моментiв часу

: ;

:

;

,

де

Тодi

(2.275)

Якщо , , то

тобто є функцiєю ваги .