3.7.3 Класифікація задач оптимального керування

У залежності від наявності обмежень задачі оптимального керування поділяються на

задачі на безумовний екстремум та задачі на умовний екстремум.

В залежності від вигляду заданій границь областей допустимих значень керуючої величини поділяються на задачі класичного варіаційного числення та некласичні задачі варіаційного числення .

В залежності від вигляду обмежень на краєві умови розглядаються задачі з фіксованими кінцями траєкторії, задачі з рухомими кінцями траєкторії, задачі з одним фіксованим та одним рухомим кінцями.

В залежності від фіксованого часу керування можна назвати задачі з фіксованим часом керування, задачі з нефіксованим часом керування.

Від динамічного характеру обмежень поділяються на задачі із статичними обмеженнями, задачі з динамічними обмеженнями, задачі з інтегральними обмеженнями, задачі із змішаними обмеженнями.

Від вигляду критерію якості визначаються задачі статичної оптимізації ( має вигляд функції ) та задачі динамічної оптимізації ( - функціонала ). Статичні задачі ( має екстремум) звуться задачами екстремального керування.

В залежності від вигляду функціоналу -- задачі з інтегральним критерієм якості (задача Лагранжа ), задачі з функціоналами, які залежать від значень керованої величини в кінці інтервалу керування ( задача Майора ), задачі із змішаними критеріями ( задача Больця ).

В залежності від неперервності часу існують задачі з неперервним часом та задачі з дискретним часом.

3.7.4 Методи розв’язання задач оптимального керування.

З математичної точки зору розв’язання задачі оптимального керування зводиться у першу чергу до визначення керування , яке надає мірі якості оптимального значення , тобто до варіаційної задачі при заданих обмеженнях.

Поняття Функціоналу.

Під функціоналом розуміється число, яке залежить від функції , яка належить деякому функціональному простору .

Варіацією аргументу функціоналу в точці зветься різність

Функції та , що задані на відрізку , близькі у розумінні близькості го порядку, якщо малі.

Функціонал є неперервним на у розумінні близькості го порядку, якщо для скіль завгодно малого існує таке , що для усіх , які задовольняють умовам , виконується умова .

Функціонал є лінійним, якщо .

Функціонал зветься білінійним, якщо він лінійний по кожному аргументу при фіксованому другому. Білінійний функціонал зветься квадратичним.

Функціонал є сильно додатним, (сильно від’ємним), якщо існує така стала , для якої , ( ), де -- норма у просторі .

Прирощенням функціоналу зветься величина , де -- варіація .

Якщо , де лінійний по функціонал, а при , то лінійна частина зветься першою варіацією або сильним диференціалом функціоналу .

Слабим функціоналом зветься похідна функціоналу за параметром , при , тобто

Другою варіацією або другим диференціалом функціоналу зветься квадратичний відносно варіації функціонал у представленні , де лінійний по функціонал, а при .

Кажуть, що при виконанні умови , , функціонал досягає на максимуму. Якщо при цьому тільки при , то на досягає строгого максимуму. Якщо для усіх виконується умова , то на досягає сильного відносного максимуму, а при всіх виконується умова , то слабого відносного максимуму.

Максимуми та мінімуми функціоналу звуться його екстремумами. Будь який сильний екстремум є і слабим, зворотне –невірно. Функціонал на має локальний екстремум, якщо зберігає свій знак у деякої місцевості .

Якщо функціонал на досягає екстремуму, то його перша варіація на дорівнює нулю. Якщо подвійне диференціювання функціоналу на досягає екстремуму, то виконуються умови , якщо , , якщо . Якщо , та , ( ), де деяка стала, то на досягає локального мінімуму ( максимуму ).