2.3.4 Теореми Ляпунова про стійкість лінійних систем керування

Жодна реальна система автоматичного керування не є строго лінійною. Лінійні характеристики та лінійні диференційні рівняння отримуються шляхом лінеаризації реальних характеристик та рівнянь.

При цьому при розвиненні функції у ряд Тейлора відкидаються члени високих порядків, які для малих відхилень вважаються зневажливо малими.

Обгрунтування закономірності такої лінеаризації міститься у теоремах Ляпунова.

1. Якщо характеристичне рівняння лінеаризованої системи має всі корені з від'ємними дійсними частинами, то реальна система буде стійкою, тобто малі нелінійні члени не можуть у цьому випадку порушити стійкість системи.

2. Якщо характеристичне рівняння лінеаризованої системи має хоча б один корінь з додатною дійсною частиною, то реальна система буде нестійкою, тобто малі нелінійні члени не можуть зробити її стійкою.

3. Якщо характеристичне рівняння лінеаризованої системи має хоч один корінь з нульовою дійсною частиною або число уявних коренів, то поведінка реальної системи не завжди навіть якісно визначається її лінеаризованим рівнянням. При цьому навіть малі нелінійні члени можуть зробити систему стійкою або нестійкою.

Таким чином, дослідження стійкості системи зводиться до визначення знаків дійсних частин коренів характеристичного рівняння замкненої системи або до встановлення розташування цих коренів на комплексній площині.

Визначити знаки коренів можна, розв'язавши характеристичне рівняння замкненої системи. Але розв'язання рівнянь вищих степенів є складною задачею та не завжди може бути доцільним з точки зору визначення стійкості системи, бо для цього потрібні не самі значення коренів, а тільки інформація про знаки дійсних частин усіх коренів.

Тому для визначення стійкості часто-густо використовуються побічні методи аналізу, які дозволяють дати відповідь про стійкість системи без визначення самих коренів характеристичного рівняння.

Такі методи звуться критеріями стійкості.