2.6.13 Визначення стійкості по логарифмічним характеристикам.

У теорiї автоматичного управлiння широке застосування має аналiз стiйкостi систем управлiння, який засновано на дослiдженнi логарифмiчних частотних характеристик умовно розiмкнених систем. Це пояснюється тим, що побудова логарифмiчних характеристик значно простiша, нiж побудова годографу АФЧХ.

Рис. 2.138 Спвівідношення та

Розглянемо амплiтудно-фазо-частотну характеристику умовно розiмкненої системи з умов застосування її для визначення стiйкостi замкненої системи. Якщо через точку провести коло з одиничним радiусом та центром у початку координат, то можна на АФЧХ видiлити дiапазон частот при яких пiдсилювання у системi буде бiльше одиницi , та діапазон підсилювання буде менше одиниці .

Частота при якої модуль дорiвнює одиницi називається частотою зрiзу.

Отже, у дiапазонi частот логарифмiчнi амплiтуднi характеристики будуть додатнi, тобто

,

На частотi пiдсилювання у децибелах дорiвнює нулю, а у другому дiапазонi пiдсилювання у децибелах буде вiд'ємним

,

Якщо побудувати логарифмiчнi характеристики, якi вiдповiдають АФЧХ досліджуваної системи, то по взаємному розташуванню логарифмiчної, амплiтудної та фазової характеристик можна визначити умови стiйкостi системи.Позначимо частоту при якої фазовий кут дорiвнює , тобто при якої АФЧХ перетинає вiд'ємну дiйсну вiсь, як

Із умови стiйкостi системи (Рис.2.139) виходить, що повиннi виконуватися умови

Рис. 2.139 Визначення запасів стійкості по ЛАФЧХ

Якщо ж буде бiльше , то це означає що АФЧХ буде охоплювати критичну точку, а система буде нестiйкою. Слiд визначити, що побудова логарифмiчних характеристик у асимптотах, дає дещо песимiстичну оцiнку стiйкостi системи, але цiлком достатньо для практичного визначення стiйкостi (частота зрiзу , визначена за асимптотичною характеристикою буде дещо бiльшою нiж дійсна ).

Рис. 2.140 Визначення запасів стійкості по асимптотичним ЛАФЧХ

Якщо система нестiйка у розiмкненому станi та має r правих коренiв, то для стiйкостi системи у замкненому станi характеристичний вектор буде обертатися проти годинникової стрiлки та охоплювати критичну точку разiв .

Проаналiзуємо поведiнку фази у цьому випадку на логарифмiчних характеристиках.

Рис.2.141 Правило перетину дійсної осі

Тому що для стiйкостi системи у цьому випадку потрiбно, щоб АФЧХ охоплювала критичну точку , то фазова характеристика буде декiлька разiв перетинати вiд'ємну дiйсну вiсь у точках . Крiм того АФЧХ може перетинати одиничне коло у декiлькох точках, якi задовольняють умовi , тобто у точках . Якщо за дiйсну частоту зрiзу прийняти найбiльше значення та визначити кiлькiсть перетинiв лiнiї фазової характеристики на iнтервалi , то для стiйкостi системи потрiбно, щоб рiзниця числа переходiв зверху у низ (позначено +) та числа переходiв знизу у верх (позначено –) дорiвнювала .

П 2.51

Для задачи П 2.50 визначити стійкість по ЛАХ

Тому що , то замкнута система стійка.

2.6.14 Запаси стiйкостi за фазою та амплiтудою.

Стiйкiсть системи є необхiдною умовою нормального функцiонування системи автоматичного управлiння. Тому стiйкiсть системи повинна мати мiсце не тільки у випадках сталих параметрiв, але i тодi, коли вони з тiєї чи іншої причини можуть змiнюватися. Це може бути забезпечено, якщо система працює на деякої вiдстанi вiд межi стiйкостi, тобто має деякий запас стiйкостi.Якщо стійкість замкненої системи оцiнюється за критерiєм Найквiсту, тобто оцiнюється АФЧХ розiмкненої системи вiдносно критичної точки , то за мiру оцiнки запасу стiйкостi можна прийняти вiдстань мiж годографом та критичної точки. Розташування кожної точки годографу на комплексної площинi для кожного значення wi може характеризуватися вiдповiдним модулем та фазою. Тому доцiльне ввести поняття запасу стiйкостi за модулем та фазою.

Рис. 2.142 Поняття запасів стійкості

Запас стiйкостi за фазою (Рис.2.142) характеризує вiдстань АФЧХ по дузi кола одиничного радiусу мiж критичною точкою та частотою зрiзу . Ця вiдстань може бути визначена по куту , мiж вiд'ємною дiйсною віссю та лiнiєю, яка проходить через початок координат та точку wci, тобто . Цей кут показує на скільки ще можна змiнювати форму АФЧХ, тобто параметри системи, щоб замкнута система була стiйкою.

Отже, чим бiльший кут , тим бiльший запас стiйкостi системи за фазою (так, наприклад, має менший запас за фазою нiж ). Запас стiйкостi за амплiтудою характеризується вiдстанню АФЧХ вiд критичної точки у напрямку дiйсної осi. Величина мiж критичною точкою та значенням АФЧХ є мiрою оцiнки запасу стiйкостi за амплiтудою, вона показує на скільки може бути збiльшення пiдсилювання у розiмкненої системи аби вона не стала нестiйкою. Якщо визначити запаси стiйкостi за амплiтудою ( ) та за фазою (кут ), то вони можуть дати межi забороненої зони, куди неповинна входити .

Рис. 2.143 Заборонені зони для заданих запасів стійкості

Запаси стiйкостi легко можуть бути визначеними за логарифмiчним амплiтудним та фазовим характеристикам за взаємним розташуванням точок та  , та (див. Рис.2.140). Для нормальної працездатностi системи вважається, що достатнiй запас стiйкостi забезпечується при .