2.7.1 Векторно-матричні моделі систем керування

Процес функціонування будь-якої системи будемо розглядати як послідовність зміни її стану у деякому інтервалі часу . Стан системи у кожний момент часу цього інтервалу може характеризуватися набором величин . При переході від одного миттєвого стану до другого значення цих величин у загальному випадку змінюється. Якщо розглянемо процес функціонування системи як послідовність зміни стану, то стають функціями часу . Величини таким чином характеризують поведінку системи у часі та називаються змінними стану. Стан системи за допомогою цих змінних можна інтерпретувати як координати точки у n-мірному фазовому просторі, кожному миттєвому стану системи відповідає відповідна точка, а процесу функціонування системи - фазова траєкторія.

Фазова траєкторія може бути описана вектор функцією . Тому що моменту часу відповідає деякий початковий стан системи з характеристиками (початковими умовами) , то під впливом зовнішніх збуджень , стан системи можна визначити як

.

Хай система автоматичного керування описується диференційним рівнянням n-го порядку вигляду

(2.241)

З теорії диференційних рівнянь відомо, що рішення рівняння (2.241) можна виразити у вигляді адитивної суми

(2.242)

де - константи деяких n-лінійних незалежних функцій , які є рішеннями диференційних рівнянь першого порядку

, (2.243)

що витікають із (2.241).

Відомо, що рішення однорідного диференційного рівняння є ,

де – корені характеристичного рівняння ; – функції, які виражають динаміку процесів у системі, тобто змінні стану системи для будь якого моменту часу .

Отже, рівняння (2.243) визначає рівняння змінних часу, а (2.242) – рівняння виходу системи. Ці змінні стану можуть бути використані для визначення вихідного сигналу системи керування: (2.244)

Якщо система рівнянь є лінійною, то рівняння приймають вигляд:

,

.

Ці рівняння можуть бути записані у векторно-матрічній формі, тобто

,

(2.245)

де матриці – матриці коефіцієнтів , , , , які мають відповідну розмірність .

Для стаціонарних систем матриці є сталими, а рівняння (2.242) приймають вигляд

,

, (2.246)

а векторно-матричну модель можна зобразити у вигляді:

Рис. 2.187 Узагальнена векторна матрична модель системи керування

При цьому матриця зветься матрицею коефіцієнтів,

– матрицею керування,

– матрицею виходу,

– матрицею обходу.

Якщо відомі та початкові умови , то вихідний процес визначається однозначно по .Отже, основною задачею при рішенні слідує вважати задачу визначення змінних стану .