1.4.2 Дискретні сигнали.

В останнiй час знайшли розповсюдження системи з цифровою обробкою сигналiв при якої аналоговий сигнал перетворюється у цифрову форму, пiсля чого виконується його обробка i далі вiдбувається перетворення у аналоговий вихiдний сигнал. Тому треба знати, за яких умовах iз часової послiдовностi можливо таке зворотне перетворення.

Хай - аналоговий сигнал. Йому вiдповiдає дискретна вибірка, тобто часова послiдовнiсть , де – тактовий перiод, – номер вiдлiку.

Якi умови тотожності цих сигналiв? Аналоговий сигнал може бути поданий у частотнiй областi за допомогою пари перетворень Фур’є:

Спектральна функція послiдовностi визначається дискретним перетворенням Фур’є:

(1.91)

При розв’язанні практичних задач може використовуватися кінцеве число вiдлiкiв аналогового сигналу.

(1.95)

Який же зв'язок мiж зображенням та зображенням Фур’є дискретної функцiї ? Зобразимо процес квантування сигналу амплітудною модуляцiєю послiдовностi -функцiй аналоговим сигналам (Рис.1.92).

Рис. 1.92 Процес квантування сигналу амплітудною модуляцiєю

послiдовностi -функцiй аналоговим сигналам

Послiдовнiсть є послiдовнiстю -функцiй передаточної функцiї iз перiодом , тобто вона є періодичною функцією і тому може бути розкладена у ряд Фур’є:

(1.96)

Знайдемо зображення -го члена послiдовностi, використавши спiввiдношення

тобто

(1.97)

Для

Таким чином спектр нульового такту сигналу пропорцiйний спектру аналогового сигналу, спектр імпульсу першого такту пропорцiйний спектру нульового такту, але змiщений на величину , яка дорiвнює частотi квантування сигналу. Спектр всiєї послідовності можна визначити як суму спектрiв кожного iмпульсу всiєї послiдовностi, тобто

(1.98)

пропорцiйний сумi змiщених спектрiв неперервної модулюючої функцiї.

Якi умови вiдновлювання неперервного сигналу iз його дискретної послiдовностi?

Рис. 1.93 Співвідношення спектрів неперервного сигналу та його дискретної послідовності

Хай аналоговий сигнал має частотний спектр з максимальною частотою спектра (Рис.1.94).

Рис. 1.94 Амплітудно-частотної спектр неперервного сигналу

Сигнали квантуються з перiодом , тобто iз частотою .

Знайдемо дискретний спектр цiєї послiдовностi. Якщо цей спектр пропустити через фiльтр iз рівномірною полосою пропускання у межах

то на виходi фiльтру з'явиться частотний спектр, який може не відповідати частотному спектру досліджуваного аналогового сигналу.

Рис. 1.95 До питання відновлення неперервного сигналу з його дискретної послідовності

Якщо пiдвищити частоту квантування сигналу таким чином, щоб змiщенi частотнi спектри не перекривалися, тобто , то на виходi фiльтру з'явиться спектр, який буде дорiвнювати частотному спектру досліджуваного сигналу, тобто неперервний сигнал може бути вiдновлений iз його дискретної послідовності (Рис.1.96).

Рис. 1.96 Відновлення неперервного сигналу з його дискретної послідовності

Висновок: Для того, щоб дискретну систему можна було розглядати як неперервну, треба щоб виконувалася умова теореми Котельникова-Шеннона, тобто частота квантування сигналу повинна бути не менш як в два рази бiльше максимальної частоти спектру, який є в цьому сигналi .