3.7.6 Метод класичного варіаційного числення.

Метод класичного варіаційного числення дозволяє визначити необхідні умови екстремуму функціоналу вигляду , , коли підінтегральна функція диференцюєма по своїм аргументам, а само рішення належить класу неперервних функцій. Для найпростішої задачі пошуку екстремуму функціоналу при обмеженнях на краєві умови траєкторії , рівняння, яке визначає необхідні умови екстремуму, має вигляд , де , , . (3.112) Це рівняння зветься рівнянням Ейлера. У розімкнутому вигляді рівняння Ейлера записується таким чином .(3.113) Функція , яке є рішенням рівняння Ейлера, зветься екстремалю.

Узагальнене рівняння Ейлера залежить від вигляду функції у показнику якості :

1) У варіаційної задачі з екстремаль визначається із рівняння Ейлера Пуассона , .(3.114)

2) У варіаційної задачі з функціоналом , де -- три жди диференцюєма за своїми аргументами функція, екстремаль знаходиться на основі рівняння Ейлера-Остроградського , де , , та --(3.115) повні похідні по та відповідно, тобто ,

Умови Лежандра

Друга необхідна умова екстремуму функціоналу задається умовою Лежандра: Для того, щоб на досягав свого екстремуму необхідно, щоб вдовж траєкторії виконувала умова

, (3.116)

Достатні умови екстремуму.

Достатні умови слабкого екстремуму функціоналу --для того, щоб надавало слабкий екстремум функціоналу достатньо, щоб одночасно було б екстремаллю, виконувалися умови Лежанжра, а рівняння , (рівняння Якобі), мало рішення, яке не перетворюється у нуль.

Умова трансверсальності.

Якщо краєві умови є рухомими, то варіація функціоналу залежить від варіації самої функції та варіації граничних умов. В цьому випадку перша необхідна умова екстремуму задається рівнянням Ейлера та так званими умовами трансверсальності (3.117)

де та функції, вздовж яких ковзають граничні умови.

Розривні варіаційні задачі.

Відповідно рівнянню Ейлера екстремаль подвійно диференцюєма, якщо . Якщо екстремум досягається на кусковогладких кривих або коли функція у функціоналі

має розриви. Перша задача зветься розривами першого роду, друга—другого роду.

Розривна задача першого роду. Хай екстремаль має розрив першої похідної у точці (рис.3.117). У точці зламу екстремаль повинна задовольняє умовам Вейерштрасса-Ердмана

, (3.118)

За якими визначається точка зламу, а екстремаль знаходиться розв’язанням рівняння Ейлера на кожної ділянці.

Рис.3.117 Рис.3.118

Розривна задача другого роду. Якщо функція має розрив вздовж деякої лінії (рис.3.118). Для розв’язання задачі необхідно знайти 4 постійних інтегрування рівняння Ейлера для і та абсцису точки стику . (3.119)

Варіаційна задача з однобічною варіацією. Для розв’язання такої задачі необхідно знайти функцію , яка доставляє екстремум функціоналу при граничних умовах , та додаткові умови ( Рис.3.119 ). В цьому випадку варіації не допускаються. Для знаходження рівняння Ейлера переходять до нової змінної , яка задовольняє умовам , тобто , , фунціонал приймає вигляд , а рівняння Ейлера -- , тобто та . Таким чином екстремаль складається з кусків, які задовольняють границі області та рівнянню Ейлера ( куски ).

Рис.3.119

Точки стику визначаються з умов стику , де належить відрізку . Умови неперервності -- , .

Варіаційна задача на умовний екстремум. Задача Лагранжа полягає у визначенні функції , яка надає екстремум функціоналу

при граничних , та додаткових умовах

Розв’язання цієї задачі виконується на основі рівняння Ейлера-Лагранжа , де , а та є множниками Лагранжа, які визначаються з системи рівнянь Ейлера-Лагранжа

Яка дозволяє визначити невідомих .

Перехід від некласичних варіаційних задач до класичних. Хай розглядається задача оптимального керування об’єктом про граничних умовах та обмеженнях на керування з точки зору критерію оптимальності , де вектор керованої величини, керуюча величина. Для переходу до класичної задачі вводиться вектор допоміжних рівнянь та допоміжне відношення , які дозволяють перейти від замкнутої області для до відкритої області для та .

Прямі методи варіаційного числення. Суть прямих методів варіаційного числення полягає у побудові послідовності функції , яка збігається до , а функціонал -- до деякого кінцевого значення..

1) Метод Ритця. При цьому послідовність , а задовольняють умовам лінійної незалежності. Функціонал стає функцією параметрів , які визначаються з умови .

2) Метод Канторовича. Використовується у тому випадку, коли функціонал залежить від декількох незалежних змінних, тобто . При цьому послідовність наближень обирається у вигляді де координатні функції, а функціонал перетворюється до нового функціоналу

3) Метод Ейлера. Виконується перехід до дискретного варіанту шляхом розбиття інтервалу часу на інтервалів тривалістю , тобто переходом до дискретної функції .