2.6.17 Визначення областi стiйкостi у площинi одного параметру.

Хай деякий параметр, який може змiнюватися, а характеристичне рiвняння замкненої системи, записане вiдносно цього параметру, має вигляд

(2.209)

де – члени рiвняння, якi не мають параметру

– члени рiвняння, якi мають цей параметр.

Отже, можна визначити – параметр як

Якщо покласти , то

(2.210)

є комплексним виразом. Змінюючи вiд до , можна побудувати криву, яка буде вiдображувати уявну вiсь площини на площинi , тобто границю розбиття. Вона буде симетричною вiдносної осi, тому можна будувати частину кривої розбиття, яка вiдповiдає , а потiм доповнити її дзеркальним вiдображенням вiдносно дiйсної осi.

Для позначення областей стiйкостi крива розбиття при змiнi частоти вiд до штрихується злiва вiдповiдно тому, як штрихується уявна вісь.

Отже областi, якi мають штрихування, яка спрямована у внутрiшнiй бiк, є претендентами на область стiйкостi.

Для перевірки треба взяти будь яке значення параметру , яке належить цiєї областi, підставити його у характеристичне рiвняння та перевiрити останнє на стiйкiсть. Якщо система вiдповiдає стiйкостi, то уся ця область є областю стiйкостi.

Тому що реальнi параметри дiйснi, то iз областi претендента треба брати дiйснi значення розглядуваного параметру. Пpи перетинаннi кривої

D-розбиття незаштрихованої областi у заштриховану один iз коренiв характеристичного рiвняння переходить з правої пiвплощини у лiву, тобто число лiвих коренiв збiльшується. Таким чином послiдовно перетинаючи межи областi стiйкостi можна визначити область, яка має найбiльше число лiвих коренiв, тобто знайти претендента областi стiйкостi.

Рис. 2.148 -розбиття по одному параметру

П 2.59

Побудувати область стійкості по К та визначити критичне значкїення К для системи

1. Характеристичне рівняння замкнутої системи

2. Визначається

Критичний коуфіцієнт парадачі

2.6.18 Побудова областi стiйкостi у площинi двох параметрiв.

Якщо у системі є два параметра, якi можуть змiнюватися, то можна характеристичне рiвняння визначити у виглядi

(2.211)

де – члени характеристичного рiвняння, якi мають параметр

– члени характеристичного рiвняння, якi мають параметр

– члени характеристичного рiвняння, якi не мають параметрiв та .

Таким чином, якщо перейти у частотну область , та видiлити дiйсну та уявну частини рiвняння (2.211), то здобудемо систему з двох рiвнянь та двома невiдомими

(2.212)

Із системи (2.212) можна здобути

(2.213)

де

Отже, кожному значенню частоти на площинi параметрiв , буде вiдповiдати точка, яка при безперервному змiнi буде описувати деяку криву, яка i буде кривою -розбиття.

При цьому можуть зустрiтися такi випадки.

1. Визначники одночасно не дорiвнюють нулю : рiшення визначає точку у площинi параметрiв.

2. Визначник , а : рiвняння несумісні, точка уходить до нескiнченності.

3. Визначники одночасно дорiвнюють нулю : параметри та стають невизначеними, а рiвняння (9.67) перетворюються у рiвняння лінії ,

яка є особливою лiнiєю, точки якої вiдповiдають однiй i тiй же частотi.

Рис. 2.149 -розбиття по двом параметрам

Правило штрихування : якщо при перемiщеннi вздовж кривої -розбиття у бiк зростання w головний визначник , то цю криву штрихують злiва, якщо , то справа.

Отже, на площинi параметрiв з'являються областi якi мають одинарне штрихування та областi з потрiбним штрихуванням.

Якщо у деякiй точки з'являється особа лiнiя, то її слiд штрихуватися так нiби вона є подовженням кривої розбиття.

Визначити область стiйкостi можна також проаналiзував всi областi на найбiльшу кількість лiвих коренiв (Рис.2.148).

Треба пам'ятати, що перетинання лiнiї з подвійним штрихуванням вiдповiдає переходу двох коренiв через уявну вiсь.

Хай математична модель дискретної системи, наприклад дискретна передаточна функцiя W(z), залежить вiд деякого параметру , тобто У просторi параметрiв можуть бути вiдокремленi областi стiйкостi та нестiйкостi . Для вiдокремлення областей стiйкостi необхiдно знайти відокремлюючу поверхню, пiсля чого визначити область стiйкостi. Відокремлюючі поверхнi можуть бути знайденi iз умови межи стiйкостi дискретної системи за необхiдними та достатнiми умовами стiйкостi або за будь-яким iз критерiїв стiйкостi. Визначення областей стiйкостi пiсля розбиття на пiдобластi може бути виконано рiзноманiтними методами з безпосередньою перевiркою.

Хай характеристичне рiвняння замкненої дискретної системи має вигляд

В цьому випадку вироджується у площину параметрiв та , а відокремлююча поверхня - у лiнiю, яка визначається з умови межи стiйкостi.

За визначеною областю стiйкостi можна вибирати значення параметрiв системи, якi забезпечують її стiйкiсть (Рис.2.150).

П 2.60

D-розбиття по двом параметрам К1 та Т1

Характеристичне рівняння замкнутої системи

1. Виконується переху частотну область

2. Визначаються визначники по параметрам

Рис. 2.150 розбиття по двом параметрам

2.6.19 Поняття абсолютної стійкості.

Хай у системi є одна однозначна нелiнiйнiсть , яка розташована у секторi , тобто (2.214), а лiнiйна частина системи описується рiвнянням

Рис.2.151 Визначення сектора

Будемо вважати, що передаточна функцiя має полюси з вiд'ємними речовинними частками та допускається наявнiсть не бiльш як двох нульових полюсiв (що вiдповiдає астатизму системи другого порядку). Тодi стан рiвноваги нелiнiйної системи буде абсолютно стiйким, якщо нелiнiйна характеристика знаходиться у секторi та iснує таке дiйсне число , що при всiх виконуються умови

(2.215)

де – амплітудно-фазова частотна характеристика лiнiйної частини системи

Введемо поняття модифiкованої частотної характеристики лiнiйної системи

(2.216)

для якої

(2.217)

Отже, значення та співпадають при та на дiйсної вiсi, де .

Якщо степiнь передаточної функцiї бiльша нiж одиниця, тобто ,то та також співпадають. Якщо , то тобто значення модифiкованої частотної характеристики при буде розташовуватися на вiд'ємнiй уявнiй осi.

Розглянемо вираз

(2.218)

Очевидно, що рiвнiсть при всiх

(2.219)

при будь-яких дiйсних представляє собою рiвняння прямої лiнiї на площинi , яка проходить через точку та має кутовий коефiцiєнт .

Отже, стан рiвноваги нелiнiйної системи абсолютно стiйкий, якщо нелiнiйна характеристика знаходиться усерединi сектора та можна провести через точку пряму таким чином, щоб вона не перетинала модифiковану частотну характеристику , яка лежить справа вiд цiєї прямої лiнiї .

Система стiйка. Система на межi стiйкостi. Система нестiйка.

Рис. 2.152 Визначення абсолютної стійкості нелінійної системи

Хай лiнiйна частина нелінійної системи описується рiвнянням (наприклад...)

тобто передаточна функцiя лiнiйної системи визначається як

Для неї модифiкована НФЧХ приймає вигляд

Для нелiнiйностi, яка має характеристику реле iз зоною нечутливостi та .

Вiдповiдно аналiзу графiка (Рис2.152) видно, що система не буде абсолютно стiйко.

Якщо лiнiйна частина системи буде мати передаточну функцiю

,

то модифікована АФЧХ буде мати вигляд, який показано на (Рис.2.153).

Рис. 2.153 Приклад визначення абсолютної стійкості

Таким чином, при даних умовах система не має абсолютної стiйкостi, тому що охоплює точку . Якщо треба забезпечити стiйкiсть системи, необхiдно змiнити характеристики нелiнiйностi (Рис.2.154). Тому що збiльшувати зону нечутливостi а небажано (збiльшується стала похибка), то треба зменшити значення .

Рис.2.154 Забезпечення стійкості зміною нелінійної характеристики

Якщо нелiнiйна характеристика розташована у секторi (Рис.2.155) тобто

,

Рис. 2.155 Визначення сектора

то повиннi виконуватися умови .

Тодi з урахуванням маємо

або

що представляє рiвняння параболи, яка проходить через точки та

Тодi, система рiвноваги нелiнiйної системи буде абсолютно стiйкою, якщо нелiнiйна характеристика лежить у серединi сектора та можна провести через точки та таку параболу з вертикальною віссю, щоб модифiкована частотна характеристика лiнiйної частини не перетинала цiєї параболи (Рис2.156).

Рис.2.156 Умови абсолютної стійкості

Із графiчної iлюстрацiї видно, що при точка уходить у ,а через точку неможливо провести пряму лiнiю таким чином, щоб не перетинати .

При розширеннi сектору умови абсолютної стiйкостi погiршуються.